2010　岐阜薬科大学　中期

【１】　次の条件によって定められる数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}\text{，}\{r_n\}$がある．

$p_1=2\text{，}{p}_{n+1}=2p_n\text{，}{q}_1=3\text{，}{q}_{n+1}=q_n+p_n\text{，}{r}_1=4\text{，}{r}_{n+1}=2r_n-q_n+p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，点$C_n(p_n,q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{q_n\}\text{，}\{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(2)　円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．

(3)　円$O_n$と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{B}}_n$の値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すへての面が合同な正三角形であり，各頂点は$5$つの正三角形に共有されている．

(1)　正二十面体の頂点の総数を求めよ．

(2)　正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．$\sin 36\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

(3)　$2$つの頂点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．

(4)　球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{▵DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．

【３】　$a$は$a\leqq 1$を満たす実数の定数とする．$x\geqq 1-a$で連続な関数$f(x)$が

${\displaystyle {\int }_{1-a}^x}f(t)(x-t)dt=24{(x+a)}^2\log (x+a)-x^4-24x\text{（}x\geqq 1-a\text{）}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値と$f(x)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 1-a$で$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

【４】　座標平面上に正十二角形があり，その外接円の中心を$\mathrm{C}(c,0)$とする．正十二角形の頂点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_{12}$はこの順に反時計まわりにならんでいる．点${\mathrm{A}}_1$の座標を$(a,b)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{A}}_7$の座標を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{A}}_2$と${\mathrm{A}}_8$の座標をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_7{\mathrm{A}}_8$は面積が$9$であり，重心の座標が$(-3,-1)$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値をすべて求めよ．

【５】　赤玉$n$個，白玉$n$個，合計$2n$個（$n\geqq 2$）の玉を無作為に左から$1$列に並べるとき，得点$X$を次のように定める．

(ⅰ)　赤玉が連続している部分が$m$カ所（$m\geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．

(ⅱ)　赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．

たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．

(1)　$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E[X]$を求めよ．

(2)　$n=k\text{（}k\geqq 7\text{）}$のとき，$X=3\text{，}4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．

【６】　楕円$O\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+y^2=1\text{，}$直線$l\text{：}y=x-\alpha \text{（}\alpha >0\text{），}$直線$m_t\text{：}y=-x+t$がある．楕円$O$と直線$l$が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の値を求めよ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点をもつように，$t$の値の範囲を定めよ．

(2)　直線$l$と直線$m_t$の交点を点$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{A}(0,-2)$と点$\mathrm{H}$との距離$s$を$t$を用いて表せ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をもつとき，${(\mathrm{PH})}^2-{(\mathrm{QH})}^2$を$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{PH}>\mathrm{QH}$とする．

(3)　楕円$O$を直線$l$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．