2010　名古屋市立大　前期

【１】　曲線$y=f(x)=x^3-x$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$での接線を$l$とする．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式$y=g(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$l$の接点以外の交点$\mathrm{B}$の座標$(b,f(b))$を求めよ．

(3)　$x\leqq 2a$において，$f(x)-g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)$から等距離にある点の集合を平面$H$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$が平面$H$に垂直であることを示せ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から平面$H$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(3)　$d$を正の実数とする．$\mathrm{P}$を$H$上の点とするとき，不等式$\mathrm{OP}\leqq d$を満たす点$\mathrm{P}$の領域の面積を求めよ．

【３】　$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)　このような選び方は何通りあるか．

(2)　$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に点${\mathrm{P}}_0$を原点とし，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$が$y$軸上の正の部分にこの順に並んでいる．$y=x^2\text{（}x>0\text{）}$上に点${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{Q}}_n$がこの順に並んでおり，$k=1$から$n$に対し，$\angle {\mathrm{Q}}_k{\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k=\angle {\mathrm{Q}}_k{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k-1}=\theta$が成り立っている．${\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}=t$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n(0,y_n)\text{，}{\mathrm{Q}}_n(x_n,{x_n}^2)$とするとき，$y_n$を$x_{n+1}$で表せ．

(3)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を推測して，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

【１】　ある自然数$k\geqq 3$に対して行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$（ただし$b\ne 0$）が$A^k=O$（零行列）を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．

(2)　$A^2=O$を示せ．

(3)　$0$でない実数を$p\text{，}$単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，逆行列を$a\text{，}b\text{，}p$で表せ．

【２】　負でない実数を$a$とする．$xy$平面上で$0\leqq x\leqq a\text{，}0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x}}$を満たす領域を$A$とし，$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1\text{，}y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$V_1$を求めよ．

(2)　$V_2$を求めよ．

(3)　$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．

(4)　$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし$\log 2<0.7$を使用してもよい．

【３】　同じ大きさの立方体を$12$個積んでできた直方体を図に示す．頂点$\mathrm{A}$から頂点$\mathrm{B}$まで立方体の辺を通って最短距離で進むものとする．次の問いに答えよ．

(1)　進み方は全部で何通りあるか．

(2)　直方体の内部を少なくとも一度は通る進み方は何通りあるか．

(3)　頂点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$のいずれも通らない進み方は何通りあるか．

【４】　関数$f_n(x)=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}{x}^n}{n}}$（ただし$x\geqq 0\text{，}n=1\text{，}2\text{，}\cdots$）について，次の問いに答えよ．

(1)　導関数${\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}_n(x)$を求めよ．

(2)　$n$が偶数のとき，$f_n(x)\leqq \log (1+x)\text{，}n$が奇数のとき$f_n(x)\geqq \log (1+x)$であることを示せ．

(3)　(2)を利用して$\log {\displaystyle \frac{6}{5}}$の値を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{250}}+{\displaystyle \frac{1}{251}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{299}}+{\displaystyle \frac{1}{300}}$の値を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．

【１】　方程式$2x\sin x-3=0\text{（}-\pi \leqq x\leqq \pi \text{）}$の解の個数を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^2-xy-4x+2y+3=0$が表す曲線の概形を描け．その曲線が$x$軸および$y$軸と交差する場合にはその交点の座標を明記すること．また，漸近線が存在する場合には，その漸近線も描き，その式を明記すること．

(2)　(1)で描かれた曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形を$A\text{，}$また(1)で描かれた曲線が$x$軸と$y$軸で交わる点を結んでできる図形を$B$とする．領域$A\cap B$の面積を求めよ．