2010　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　$2$辺が$18cm\text{，}24cm$の長方形の厚紙から底面が直角二等辺三角形の三角柱の形をしたふたのない容器を作りたい．ただし，容器の高さを$hcm\text{，}$底面の三角形の短い方の辺の長さを$xcm$とする．次の問いに答えよ．

(1)　図のように容器の展開図を作ったときの「たて」と「よこ」の長さを$h$と$x$で表せ．

(2)　(1)で求めた「よこ」を$24cm$としたとき，容器を最大にするときの$h$と$x$およびそのときの容積を求めよ．

【２】　袋$\mathrm{A}$の中に$5$個の白玉と$1$個の赤玉が入っており，袋$\mathrm{B}$の中に$3$個の白玉が入っている．$\mathrm{A}$から無作為に$1$個の玉を取り出し$\mathrm{B}$に移した後，$\mathrm{B}$から無作為に$1$個の玉を取り出し$\mathrm{A}$に移す．この操作を$n$回繰り返した後に，$\mathrm{A}$に赤玉が入っている確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$P_{n+1}$を$P_n$で表せ．

(2)　$P_n$を求めよ．

【３】　直角三角形$\mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{AOB}=90°\text{，}\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=l$とし，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．いま，$▵\mathrm{OAB}$の外側に辺$\mathrm{OB}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を一辺とする$2$つの正三角形$\mathrm{OBP}\text{，}\mathrm{ABQ}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{MPQ}$の面積$S$を求めよ．

【４】　放物線$C:y=a{x}^2+x-b\text{，}\text{（}a\ne 0\text{）}$と直線$y=x$が$2$つの異なる交点を持つとする．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの交点を結ぶ線分を直径とする円の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$と(1)で求めた円の交点が$4$つあるための条件を求めよ．

(3)　(2)の$4$つの交点$(x,y)$が$x=p{y}^2+qy+r$を満たすとき，$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．