2010　奈良県立医科大学　前期医学科

【１】

$\alpha ={\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}}\text{．}$$\beta ={\displaystyle \frac{3-\sqrt{13}}{2}}$

とおく．

(1)　任意の正整数$n$に対して，${\alpha }^n+{\beta }^n$は整数であることを証明せよ．

(2)　実数$r$に対して$r$を越えない最大の整数を$[r]$で表し，$r$の小数部分$\{r\}$を$\{r\}=r-[r]$と定義する．このとき，$2$個の極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\alpha }^{2n}\}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\alpha }^{2n+1}\}$

を求めよ．

【２】　$2$行$2$列の行列$J\text{，}$$E$を

$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

で定める．かつ$\left|x\right|\leqq 1$なる範囲を動く実数$x$に対して，$2$行$2$列の行列$A(x)$を

$A(x)=xE+\sqrt{1-x^2}J$

と定義する．更に正整数$n$に対して，行列$A(x)$の$n$乗${A(x)}^n$の$1$行$1$列の成分を$f_n(x)$とおく．

(1)　$f_n(x)$は$x$に関する$n$次の整式であり，その係数は全て整数からなることを証明せよ．

(2)　$n$次式$f_n(x)$における$x^n$の係数を求めよ．

(3)　$n>1$のとき，$n$次式$f_n(x)$における$x^2$の係数，及び$x^{n-2}$の係数を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とする．このとき，以下の$4$条件を同時に満たすような実数の数列${\{x_n\}}_{n=1\text{，}2\text{，}\cdots }$が存在する為に，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の満たすべき必要十分条件を求めよ．

【４】　$n$は正整数とする．

(1)

${\displaystyle \frac{1}{x{(1+x)}^n}}={\displaystyle \frac{a_0}{x}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{a_i}{{(1+x)}^i}}$

となる定数$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を求めよ．

(2)　更に$n>1$とする．$1$より小さい正の実数$a$が$0$に近づくとき，極限

$\underset{a\to 0+}{\lim }{\displaystyle {\int }_a^1}{\displaystyle \frac{\log x}{{(1+x)}^n}}\mathit{dx}$

は，正負いずれの無限大にも発散せず，有限の値をとることを証明せよ．（但し，極限値を具体的に求める必要はない．また，

$\underset{x\to 0+}{\lim }x\log x=0$

であることは証明なしに用いてよい．）

(3)　極限値

$\underset{n\to 0+}{\lim }{\displaystyle {\int }_a^1}{\displaystyle \frac{x\log x}{{(1+x)}^3}}\mathit{dx}$

を求めよ．