2010　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$2^x=3^{1-x}$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\cos 2\theta -3\cos \theta +2=0$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x^2-xy+y^2=1$のとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が次の関係式を満たしている．

$a_1=1\text{，}$$b_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n-b_n\text{，}$$b_{n+1}=2a_n+4b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$c_n=a_n+b_n$とおく．$c_n$を求めよ．

(2) $d_n=2a_n+b_n$とおく．$d_n$を求めよ．

(3)　$a_n$と$b_n$を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>0$である．$\mathrm{H}$を通り線分$\mathrm{OP}$に垂直な直線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{HQ}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵ORQ}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵HPR}$の面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．

(3)　$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．

(4)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{S}_1{S}_2$の値を求めよ．

(5)　$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

【４】　次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+x)\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-x)\cos x\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x\log (x^2+1)}{x^2+1}}\mathit{dx}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{e^x}{2+3e^x+e^{2x}}}\mathit{dx}$