2010　岡山県立大学　中期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

[1]　$n$が自然数のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}\leqq 2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$

【１】　次の問いに答えよ．

[2]　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1+ax-\sqrt{1+x}}{x^2}}$が有限な値になるように，定数$a$の値を定め，その極限値を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 6& -2\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}$$P=\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 3& y\end{array}\right)$が$AP=PB$を満たしている．以下の問いに答えよ．

(1)　$x$と$y$の値を求めよ．

(2)　行列$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が次の関係式を満たしている．

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}$$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$a_n$と$b_n$を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-2x$上に点$\mathrm{P}$$(t,t^3-2t)$がある．ただし，$t>0$である．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l$とし，$C$と$l$の交点で$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形について，$x\leqq 0$の部分の面積を$S\text{，}$$x\geqq 0$の部分の面積を$T$とするとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

[1]　$x>0$のとき，次の不等式を証明せよ．

$x\log x\geqq x-1$

【４】　次の問いに答えよ．

[2]　次の不定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos 2x}}\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x}{1+\cos 2x}}\mathit{dx}$