2010　高知工科大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{\angle C}$を直角とし斜辺の長さが$1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=\theta$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{CQ}=x$とする．点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，$\mathrm{▵APQ}$を元の三角形に折り重ねる．折り重ねた$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{PQ}$と$\mathrm{▵ABC}$が重なってできる図形の面積を$T$とする．次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．

(2)　面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．

(3)　面積$T$の値が最大となるときの$\mathrm{▵ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$m$を正の定数とする．座標平面において，曲線$C\text{：}y=x^3-2a{x}^2+a^{2}x$と直線$l\text{：}y=m^{2}x$は，異なる$3$点を共有し，その$x$座標はいずれも負ではないとする．次の各問に答えよ．

(1)　$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$l$の共有点の$x$座標を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．

(3)　(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が${\displaystyle \frac{1}{2}}$になるように$a$の値を定めよ．

【３】　座標平面において，曲線$y=e^x$を$C$とし，点$(1,0)$を${\mathrm{P}}_1\text{，}$点${\mathrm{P}}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_1$とする．

　点${\mathrm{Q}}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$点${\mathrm{P}}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_2$とする．さらに，点${\mathrm{Q}}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を${\mathrm{P}}_3\text{，}$点${\mathrm{P}}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_3$とする．

　以下同様の操作を繰り返し，$x$軸上の点列${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots$と曲線$C$上の点列${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_3\text{，}$$\cdots$を定める．

　また，各自然数$n$について，曲線$C$と$2$つの線分${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として，数列

$S_1,S_2,\cdots ,S_n,\cdots$

を定める．次の各問に答えよ．

(1)　$S_1$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(3)　無限級数

$S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$

の和を求めよ．

【４】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の$3$種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を(S)とする：

(S)：$1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,\cdots$

さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを(T)とする：

(T)：$12311121321222331\cdots$

次の各問に答えよ．

(1)　(S)において，$12$は$5$番目の整数である．$312$は何番目の整数になるか求めよ．

(2)　(S)において，$2010$番目の整数を求めよ．

(3)　(T)において，初めて$2$が$3$個連続して並ぶ部分の最初の$2$は$12$番目の数字である．初めて$1$が$2n+1$個連続して並ぶ部分の最初の$1$は何番目の数字になるか求めよ．ただし，$n$は自然数とする．