2010　高知工科大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}$$(7,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,4)$がある．次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の外接円の半径を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の外接円の中心の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の半径を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の中心の座標を求めよ．

【２】　座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2-8x+2y+7=0$と点$\mathrm{A}$$(0,1)$がある．円$C$の中心を$\mathrm{B}\text{，}$半径を$r$とする．また点$\mathrm{A}$を通り，傾き$m$の直線を$l$とする．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標と$r$を求めよ．

(2)　直線$l$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．

(3)　点$\mathrm{B}$を通り，傾き$3$の直線と直線$l$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$が円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．

(4)　(3)のとき，線分$\mathrm{AP}$の両端を除いた部分と円$C$との共有点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

【３】　関数列

$f_n(x)=x^{n-1}\text{，}$$g_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}{f}_k(x)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$F_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$g(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n(x)$とおく．

${\displaystyle {\int }_0^x}9(t)\mathit{dt}$

を求めよ．

(3)　(1)の$F_n(x)$について

$-F_{n+1}(1)\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{{(-1)}^n{f}_{n+1}(t)}{1+t}}\mathit{dt}\leqq F_{n+1}(1)$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　無限級数

$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{(-1)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{n}}+\cdots$

の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．

【４】　$r$と$\theta$を$-1<r<1\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi$を満たす定数とする．行列$A=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{，}$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$に対して，次の各問に答えよ．

(1)　行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し，${(E-A)}^{-1}$を求めよ．

(2)　全ての自然数$n$について

$A^n=r^n\left(\begin{array}{cc}\cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array}\right)$

が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$n$を$2$以上の自然数とする．$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ．

(4)　次の極限値を求めよ．

$\text{①}$　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{r}^k\cos k\theta$$$ $\text{②}$　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{r}^k\sin k\theta$