2010　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$({\log }_{5}7+{\log }_{25}7){\log }_{7}x=6$をみたす$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+8x+c=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{(\alpha -\beta )}^{2k}=3$のとき，定数$c$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　袋の中に青球$5$個，緑球$4$個，黄球$2$個，赤球$2$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋にさらに$n$個の赤球と$5-n$個の白球を加える．この袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，取り出された$2$個の球が同じ色でない確率が${\displaystyle \frac{5}{6}}$となる$n$の値を求めよ．

【２】　辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ，$4\text{，}$$2\text{，}$$b$とする$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\mathrm{\angle ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\alpha =\mathrm{\angle BAC}\text{，}$$\beta =\mathrm{\angle ABC}\text{，}$$\gamma =\mathrm{\angle ACB}\text{，}$$\overrightarrow{u}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{BC}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．

(1)　$\mathrm{▵BCD}$の面積$S_1$と$\mathrm{▵ABD}$の面積$S_2$の比$p={\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|$の比$r={\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|}}$の値を求めよ．

(3)　$w={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2+4bt\cos \alpha +16t(1-t)\cos \beta +2b(1-t)\cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．

(4)　$t=p$のとき，$z=3\left|\overrightarrow{u}\right|+4w-b^2$の値を求めよ．

【３】　$I_n={\displaystyle {\int }_0^e}{\sin }^{n}x{\cos }^{5}x\mathit{dx}\text{，}$$J_n={\displaystyle {\int }_0^e}{\sin }^{n}x\cos x\mathit{dx}\text{，}$$K_n=J_n-J_{n+2}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数であり，$c$は正の定数である．

(1)　$I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．

(2)　$A_n={\displaystyle \sum _{m=1}^n}{I}_m$を$K_1\text{，}$$K_2\text{，}$$K_{n+1}\text{，}$$K_{n+2}$を用いて表せ．

(3)　$c={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$K_n={\displaystyle \frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．

(4)　$c={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }\alpha (A_n+\beta )n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．