2010　北九州市立大学　前期

【１】　初項から第$n$項までの和が，次の$S_n$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．

$S_n=p{n}^2+qn$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$p\text{，}$$q$は定数とし，数列$\{a_n\}$は$a_4=9\text{，}$$a_6=13$を満たすとする．また，数列$\{b_n\}$は次の条件によって定められるとする．

$b_1=1\text{，}$${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{b_n+2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　定数$p\text{，}$$q$と数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{S_n\}$の初項から第$n$項までの和$P_n$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　次の式によって与えられる数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$Q_n$を求めよ．

$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【２】　$a$を定数とし，関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}=(x-1)g(x)+x+a\text{，}$$g(x)=x^2-(x+1){\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$

を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$g(0)$と定数$a$を求めよ．

(2)　関数$g(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$を求めよ．

【３】　座標空間に点$\mathrm{P}$$(2,1,1)$と空間の$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(3,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,-1,0)$がある．また，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る球面$S$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の垂心の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の外心の座標を求めよ．

(4)　球面$S$の方程式を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の自然数とする．同じ形の赤球$n$個と白球$2n$個の入った$1$つの箱がある．この箱から球を取り出し，色を確認して箱に戻す作業を次の$3$通りの方法A，B，Cで行う．以下の問いに答えよ．

方法A：箱から$1$個の球を取り出し色を確認して箱に戻す作業を$4$回繰り返す．取り出した$4$個の球のうち$2$個が赤球である確率を$P_n$とする．

方法B：箱から$2$個の球を同時に取り出し色を確認して箱に戻す作業を$2$回繰り返す．取り出した$4$個の球のうち$2$個が赤球である確率を$Q_n$とする．

方法C：箱から$4$個の球を同時に取り出し色を確認して箱に戻す．取り出した$4$個の球のうち$2$個が赤球である確率を$R_n$とする．

(1)　方法Aで，確率$P_3$と確率$P_n$を求めよ．

(2)　方法Cで，確率$R_3$を求めよ．また，確率$R_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　確率$R_n$について，$R_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$が成り立つ最大の自然数$n$を求めよ．

(4)　方法Bで，確率$Q_n$を$n$を用いて表せ．

(5)　$2$以上の自然数$n$について，$P_n\leqq Q_n\leqq R_n$が成り立つことを示せ．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$y=-x^2-4x-2$$\text{（}a-1\leqq x\leqq a\text{）}$の放物線に関し，$y$の最大値が正となり，かつ最小値が負となる定数$a$の範囲は，$\boxed{\text{ア}}\text{，}$または$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，$4$の目が$1$個だけ出る確率は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$出る目の最大値が$4$以下となる確率は$\boxed{\text{エ}}\text{，}$出る目の最大値が$4$となる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　${(x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{10}$の展開式の項の個数は$\boxed{\text{カ}}$個，$x^5$の係数は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$x^{20}$の係数は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\text{，}$$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$のとき，$x^3+y^3$は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$x^6+y^6$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　ある正八角形が半径$r$の円に外接し，かつ半径$R$の円に内接するとき，$r^2$を$R$を用いて表すと，$\boxed{\text{サ}}$である．また，この正八角形の面積を，$r$を用いて表すと$\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ヘ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$3$次方程式$x^3+p{x}^2+x+q=0$の解の$1$つが$1-2i$の時，実数$p\text{，}$$q$の値は$p=\boxed{\text{タ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{チ}}$である．また，他の解は$x=\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$\boxed{\text{テ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ヘ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　円$x^2+{(y+1)}^2=5$と直線$y=2x+k$が$2$点で交わるように定数$k$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{ト}}$である．また，円と直線が接する場合の接点の座標は$\boxed{\text{ナ}}$と$\boxed{\text{ニ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ヘ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$0\leqq x<2\pi$とする．関数$y=3\sin x-\sqrt{3}\cos x+1$の最大値は$\boxed{\text{ヌ}}$で，そのとき$x=\boxed{\text{ネ}}$である．また，最小値は$\boxed{\text{ノ}}$で，そのとき$x=\boxed{\text{ハ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ヘ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　方程式${\log }_2(x^2-5x+6)+{\log }_2(x+1)={\log }_2(x-2)+2$を解くと$x=\boxed{\text{ヒ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ヘ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　第$2$項が$12\text{，}$第$5$項が$768$となる等比数列$\{a_n\}$の一般項は$\boxed{\text{フ}}\text{，}$初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{3x}{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$f(x)$のグラフを描け．変曲点があればその座標も求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_{-5}^5}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　行列$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を座標平面上における$1$次変換を表す$2$次の正方行列とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　$x$軸に関する対称移動を表す行列$A$を示せ．

(2)　原点を中心とする角$\theta$の回転移動を表す行列$B$を示せ．

(3)　(1)，(2)を利用して，直線$4x-3y=0$に関する対称移動を表す行列$C$を求めよ．

(4)　$C^2$および$C^{-1}$を求めよ．

(5)　直線$-x+y=1$上の点を直線$4x-3y=0$に関して対称移動した点からなる図形を表す方程式を求めよ．