2010　北九州市立大学　後期国際環境工学部機械システム工学科

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．ただし，$\boxed{\text{オ}}$については選択肢から選べ．証明や説明は必要としない．

(1)　$9a^2-30ab-24b^2$を因数分解すると$\boxed{\text{ア}}$である．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．ただし，$\boxed{\text{オ}}$については選択肢から選べ．証明や説明は必要としない．

(2)　$2$次方程式${(x+2)}^2-3(x+2)-28=0$の解は$\boxed{\text{イ}}$である．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．ただし，$\boxed{\text{オ}}$については選択肢から選べ．証明や説明は必要としない．

(3)　$2$次不等式$6x^2-7x-3>0$の解は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．ただし，$\boxed{\text{オ}}$については選択肢から選べ．証明や説明は必要としない．

(4)　$20$から$100$までの自然数のうちで，$6$の倍数または$9$の倍数である数は$\boxed{\text{エ}}$個ある．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．ただし，$\boxed{\text{オ}}$については選択肢から選べ．証明や説明は必要としない．

(5)　$\mathrm{▵0ABC}$が二等辺三角形であることは，$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるための$\boxed{\text{オ}}$である．(「必要条件」，「十分条件」，「必要十分条件」から適切なものを選べ）

【3-B】　空間に$5$つの点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,1,1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$s\text{，}$$t$は$0<s<1\text{，}$$0<t<1$である．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$に垂直となる$s$と$t$の条件を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$に垂直で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=3:1$となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．

【3-C】　関数$f(x)=e^x-1-a$の積分を考える．ただし，$a$は定数である．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　定積分$I$を$I={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$とする．$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときの$I$を求めよ．

(3)　$0\leqq a\leqq 1$のとき，定積分$I$を$a$で表せ．

(4)　$0\leqq a\leqq 1$のとき，定積分$I$が最小値をとる$a$の値を求めよ．