2010　学習院大学　法学部MathJax

【１】　$n$が$2$以上の自然数のとき，

$2^{2^n}-6$

は$10$で割り切れることを示せ．

【２】　$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$n$であるとき，$n$の「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数$n$の「奇数部分」とは

$n=2^{k}m$（$k$は$0$以上の整数，$m$は奇数）

と表したときの$m$のこととする．たとえば

$4=2^2\times 1\text{，}5=2^0\times 5\text{，}6=2^1\times 3$

であるので，$4\text{，}5\text{，}6$の「奇数部分」はそれぞれ$1\text{，}5\text{，}3$である．

(1)　得点が$9$である確率を求めよ．

(2)　得点が$1$である確率を求めよ．

(3)　得点の期待値を求めよ．

【３】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2=2x$を満たしながら動くとき，$3x+4y$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とし，関数$y=x^2+a$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$において$C$に接線$l$をひき，$l$と$y=x^2$のグラフの交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\mathrm{R}$の座標を$\beta$とするとき，$|\alpha -\beta |$は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを証明せよ．