2010　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　循環小数$2.\stackrel{\cdot }{6}\stackrel{\cdot }{3}$（すなわち，$2.636363\cdots$）を既約分数で表すと$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\tan 15°}}}$を小数で表したときの，小数第$1$位の整数（すなわち，$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9$の中の数）は$\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　$\pi$を円周率として，無限級数

$1+{\displaystyle \frac{2}{\pi }}+{\displaystyle \frac{3}{{\pi }^2}}+{\displaystyle \frac{4}{{\pi }^3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n+1}{{\pi }^n}}+\cdots$

を考える．この級数の和は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　方程式

$6^x-5\cdot 3^x-6\cdot 2^x+30=0$

の解のうちで一番大きい解の整数部分は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　座標平面上の点$\mathrm{P}(2,0)$を考える．$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の円と放物線$y=\sqrt{3}{x}^2$で囲まれてできる$2$つの図形のうち，小さい方の面積は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}(x+y-1)(x+2y+3)=0\\ |x-y|=1\end{array}$

を考える．この解$(x,y)$のうちで，最小の$x$は$\boxed{\text{(カ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　空間内に$2$点$\mathrm{O}(0,0,0)$と$\mathrm{A}(10,5,0)$を定める．点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$上を動くとする．また，点$\mathrm{Q}$は球面${(x-3)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=4$上を動くとする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　$x\geqq 0$のとき，$x^3+32\geqq p{x}^2$が成り立つような定数$p$の最大値は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．原点を出発して，さいころを$1$回振るごとに，$1$か$2$の目が出たときは数直線上を正の向きに$3$だけ進み，$3$か$4$か$5$か$6$の目が出たときは数直線上を負の向きに$2$だけ進むものとする．さいころを$5$回振るとき，点$\mathrm{P}$がちょうど原点の位置にくる確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　赤球$2$個，白球$2$個，黒球$2$個が入っている袋を考える．いま，袋から球を$1$つ取り出して，球の色が黒の場合は袋に戻し，それ意外の場合は球を手元に残しておくとする．この試行を$4$回繰り返したとき，手元に赤球$2$個，白球$1$個が残る確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=7$であるとする．$\angle \mathrm{A}$の大きさを$\theta \text{（}0°<\theta <180°\text{）}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$外心を$\mathrm{O}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$s\text{，}t$を考える．次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\boxed{\text{(サ)}}$となる．

(2)　$\theta =120°$のとき$s\text{，}t$を求めてみよう．辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$が直交し，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$が直交することから$s\text{，}t$に関する連立方程式が得られる．これを解くと$s=\boxed{\text{(シ)}}\text{，}t=\boxed{\text{(ス)}}$である．

(3)　$\cos \theta =x$とする．(2)と同様にして，$s\text{，}t$を$x$のみの式で表すと$s=\boxed{\text{(セ)}}\text{，}t=\boxed{\text{(ソ)}}$となる．特に，線分$\mathrm{GO}$を$1:3$に外分する点$\mathrm{P}$は$x=\boxed{\text{(タ)}}$のとき，辺$\mathrm{AC}$上にあり，${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}}=\boxed{\text{(チ)}}$である．

【４】　$0\leqq t\leqq 1$とする．直線$l:y=t(x+1)$と$l^{\prime }:y=(t-1)x$を考える．放物線$y=x(x+1)$と直線$l$で囲まれた部分を$A$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$A$の面積を$t$の関数として求めなさい．

(2)　$2$つの直線$l$と$l^{\prime }$の交点を求めなさい．

(3)　放物線$y=x(x+1)$と直線$l^{\prime }$で囲まれた部分を$B$とする．$A$と$B$の和集合の面積$S(t)$を，$t$の関数として求めなさい．

(4)　(3)で求めた関数$S(t)$の最小値を求めなさい．

【５】　座標平面において$x$軸と$2$直線$l:y=x+4\text{，}{l}^{\prime }:y=-x+6$で囲まれた三角形の面積を$S_1$とする．$a$は正の数で$a\ne 1$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$x$軸および直線$l$と直線$y=ax$で囲まれた三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となるような正の数$a$をすべて求めなさい．

(2)　$2$直線$l\text{，}{l}^{\prime }$と直線$y=ax$で囲まれた三角形の面積を$S_3$とする．$S_1=S_3$となるような正の数$a$をすべて求めなさい．