2010　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】

(1)　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=\sqrt{13}\text{，}$$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{p}\right|=\sqrt{3}$を満たしている．このとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$の内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$は$\boxed{\text{(ア)}}$であり，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$は$\boxed{\text{(イ)}}°$である．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 180°$である．

【１】

(2)　関数$f\left(x\right)=4{\sin }^{3}x+9{\cos }^{2}x+6\sin x-3$の$0\leqq x\leqq \pi$における最小値は$\boxed{\text{(ウ)}}$であり，最大値は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】

(3)　数列$\left\{a_n\right\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}2a_n-a_{n+1}-3a_n{a}_{n+1}=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．この数列の一般項は，$a_n=\boxed{\text{(オ)}}$で与えられる．

　また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{(カ)}}$である．

【２】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の番号が$1$つずつかかれた$4$個の玉と$1$つの袋があり，番号$1$の玉だけが袋に入っている．この状態から始めて，

「袋から玉を$1$個取り出し，その玉の番号を確認してから，次のルールにしたがい$1$個または$2$個の玉を袋に加える」

という作業を何回か続けて行う．

(1)　上の作業を$2$回続けて行うとき，$2$回目に取り出す玉の番号が$1$である確率と$2$である確率はともに$\boxed{\text{(キ)}}$である．

(2)　上の作業を$3$回続けて行うとき，取り出す玉の番号が$3$回とも$1$である確率は$\boxed{\text{(ク)}}$であり，取り出す玉の番号が順に$1\text{，}2\text{，}3$である確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．また，$3$回目に取り出す玉の番号が$1$である確率と$2$である確率はともに$\boxed{\text{(コ)}}$であり，$3$である確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

(3)　上の作業を$4$回続けて行うとき，$4$回目に取り出す玉の番号が$3$である確率は$\boxed{\text{(サ)}}$であり，$4$である確率は$\boxed{\text{(シ)}}$である．

【３】　座標平面上において，以下の設問(1)，(2)，(3)のように図形$S$と点$\mathrm{P}$を考える．図形$S$上を点$\mathrm{Q}$が動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$\overline{\mathrm{PS}}$と表す．

(1)　方程式$y=3x$の表す図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(2,0)$について$\overline{\mathrm{PS}}=\boxed{\text{(ス)}}$である．また，$\overline{\mathrm{PS}}\leqq 1$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$全体が描く図形は，不等式

$\boxed{\text{(セ)}}x-\boxed{\text{(ソ)}}\leqq y\leqq \boxed{\text{(セ)}}x+\boxed{\text{(ソ)}}$

の表す領域と一致する．

(2)　方程式$x^2+y^2=2$の表す図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(2,0)$について$\overline{\mathrm{PS}}=\boxed{\text{(タ)}}$である．また，$\overline{\mathrm{PS}}\leqq 1$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$全体が描く図形の面積は$\boxed{\text{(チ)}}$である．

(3)　$2$つの式

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y=0\end{array}$

の表す図形を$S$とする．$\overline{\mathrm{PS}}\leqq 1$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$全体が描く図形を図示しなさい．

【４】　正の整数$n\text{，}k$に対して，$x$の$3$次関数

$f(x)=2n{x}^3+3(n+{\displaystyle \frac{k}{2}})x^2+3(n+{\displaystyle \frac{k}{2}}+1)x+k$

を考える．$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解をもつような正の整数の組$(n,k)$を見つけたい．

　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解をもつならば，$f^{\prime }(x)=0$の相異なる実数解の個数は$\boxed{\text{(ツ)}}$個でなければならない．これより，$n$と$k$の満たす不等式

${(\boxed{\text{(テ)}})}^2-4<k^2\cdots \text{①}$

が得られる．

　次に$g(x)=x^{3}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$とおくと，$g(x)=0$も相異なる$3$つの実数解をもたなければならない．これより，$\text{①}$を得たのと同様にして，$n$と$k$の満たす不等式

${(k-\boxed{\text{(ト)}})}^2<{(\boxed{\text{(テ)}})}^2+4\cdots \text{②}$

が得られる．

　正の整数$n$を与えるとき，連立不等式$\text{①}\text{，}\text{②}$を満たす正の整数$k$をすべて求めると

$k=\boxed{\text{(ナ)}}-1\text{，}\boxed{\text{(ナ)}}\text{，}\boxed{\text{(ナ)}}+1$

の$3$つである．$k=\boxed{\text{(ナ)}}$に対して，方程式$f\left(x\right)=0$を考えると，これは$n$に無関係に定まる解$x=\boxed{\text{(ニ)}}$と$n$を用いて表わされる$2$つの解

$x={\displaystyle \frac{-8n-9\pm \sqrt{\boxed{\text{(ヌ)}}}}{8n}}$

の$3$つの実数解をもつ．

【５】　$a$を正の定数とし，座標平面上の曲線$C:y=e^{2x}$と直線$l:y=ax$を考える．

(1)　曲線$C$と直線$l$がただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもつとき，定数$a$の値と点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．求める過程も書きなさい．

(2)　(1)のとき，曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれる図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めなさい．求める過程も書きなさい．

(3)　$a$を(1)で求めた値より小さい正の定数とする．このとき，直線$l:y=ax$は曲線$C$と共有点をもたない．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が直線$l$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるのは，点$\mathrm{P}$の座標が$(\boxed{\text{(ネ)}},\boxed{\text{(ノ)}})$のときである．この点$\mathrm{P}(\boxed{\text{(ネ)}},\boxed{\text{(ノ)}})$が$y$軸上にあるのは$a=\boxed{\text{(ハ)}}$のときであり，このとき最小の線分の長さを求めると$\mathrm{PQ}=\boxed{\text{(ヒ)}}$となる．