2010　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　座標空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,3,-1)$によって定まる平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{C}(0,7,14)$をとる．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{n}=(-3,\boxed{\text{(1)}},\boxed{\text{(2)}})$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方と垂直である．

(2)　点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点の座標は$(\boxed{\text{(3)}},\boxed{\text{(4)}},\boxed{\text{(5)}})$である．

(3)　点$\mathrm{C}$を中心とし半径$10\sqrt{2}$の球面と平面$\alpha$とが交わってできる図形は半径$\boxed{\text{(6)}}\boxed{\text{(7)}}$の円である．

(4)　点$\mathrm{O}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．点$\mathrm{P}$が線分${\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}$上を動くとき，$\mathrm{PC}$が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$(0,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(8)}}\boxed{\text{(9)}}}{\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}}})$で，$\mathrm{PC}$が最大となる点$\mathrm{P}$の座標は$(0,\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}},\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}})$である．

【２】　$1$から$6$までの番号をつけた$6$枚のカードを横$1$列に並べる．

(1)　左端が$5$番のカードであるような並べ方の総数は$\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}\boxed{\text{(22)}}$である．

(2)　次のような操作を試行という．

「さいころを振って出た目の数の番号のカードを左端に移し，空いた場所の左隣のカードを順に右に詰めることによって$6$枚のカードを並べかえる．出た目の数の番号のカードが左端にある場合はカードの移動はしない．」

　例えば，カードの番号が左から$1\text{，}3\text{，}5\text{，}2\text{，}4\text{，}6$の順に並んでいて，さいころを振って$4$が出たとき，並べ替えた後のカードの番号は左から順に$4\text{，}1\text{，}3\text{，}5\text{，}2\text{，}6$となる．

　最初，カードの番号が左から$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の順に並んでいるとする．

(a)　試行を$2$回続けて行った後で起こりうる並び方のうち，$1$番のカ−ドが左から$3$枚目の位置にある並び方の総数は$\boxed{\text{(23)}}\boxed{\text{(24)}}$である．

(b)　試行を$2$回続けて行った後で，$1$番のカードが左から$3$枚目の位置にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}\boxed{\text{(27)}}}}$である．

(c)　試行を$2$回続けて行った後で，$1$番のカードが左から$2$枚目の位置にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}\boxed{\text{(30)}}}}$である．

(d)　試行を$2$回続けて行うとき，最初の状態を含めて，列の左端に位置することが$1$度もないカードの枚数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(31)}}\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}}}}$である．

【３】　$a\text{，}b$は実数で，$a>0$とし，

$f(x)=a{x}^2+bx+1$

とおく．

(1)　方程式$f(x)=0$は実数解をもたないか，または，ただ$1$つの実数解をもつとする．

　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}}}}\text{，}b=\boxed{\text{(38)}}\boxed{\text{(39)}}$のとき最小となり，このとき${\displaystyle {\int }_0^1}(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}$である．

(2)　方程式$f(x)=0$は実数解をもつとし，異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもつときには$k=\alpha +\beta$とおき，ただ$1$つの実数解$\alpha$をもつときには$k=2\alpha$とおく．${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx\leqq 7$がみたされているならば，$|k|$は$a=\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}\text{，}b=\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}\boxed{\text{(47)}}$のとき最小となり，このとき$|k|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(48)}}}{\boxed{\text{(49)}}}}$である．

【４】　$a$は実数の定数とする．

(1)　$|x-a|<2$をみたす実数$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$|x-a|<2$をみたす正の実数$x$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$|x-a|<x+1$をみたす実数$x$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$a$の値が(3)の範囲にあるとき，$|x-a|<x+1$をみたす実数$x$の値の範囲を求めよ．

(5)　すべての実数$x$に対して$|x^2-a|>x-a$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

【５】(1)　整式

$x^2+5x-y^2-5y$

を因数分解せよ．

(2)　$2$つの方程式

$x^2+5x-y^2-5y=0\text{，}{x}^3+x^2+2xy+3y+1=0$

を同時にみたす実数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【６】(1)　不等式

$y^2\geqq {({\log }_{2}x)}^2$

をみたす点$(x,y)$全体の集合を，その境界と座標軸との交点の座標も書き入れて，座標平面上に図示せよ．

(2)　集合

$S=\{{\log }_{2}x|x\text{は}{({\log }_{2}x)}^2>100x^2\text{をみたす実数}\}$

に属する最大の整数を求めよ．