2010　慶応義塾大学　総合政策学部

【１】

(1)　自然数の列$p_0\text{，}{p}_1\text{，}\cdots$を次の規則で定義する．

$\text{i)}$　$p_0=p$

$\text{ii)}$　$p_{n+1}$は$(p_0\times p_1\times \cdots \times p_n)+1$を割り切る$2$以上の最小の自然数．

すると，$p=5$ならば$p_3=\boxed{\text{(1)(2)}}$であり，$p=14$ならば$p_3=\boxed{\text{(3)(4)}}$である．

【１】

(2)　$0$から$13$までの数を図のように円形に並べた．ただし，隣り合う数の差は$3\text{，}4\text{，}5$のいずれかとした．すると

$A=\boxed{\text{(5)(6)}}\text{，}B=\boxed{\text{(7)(8)}}\text{，}C=\boxed{\text{(9)(10)}}\text{，}D=\boxed{\text{(11)(12)}}$

である．

【２】(1)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}a\text{，}b\text{，}c$を

$x_1+x_2+x_3=a\text{，}{x}_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=b\text{，}{x}_1{x}_2{x}_3=c$

なる実数とするとき

${x_1}^3+{x_2}^3+{x_3}^3=a^3-\boxed{\text{(13)(14)}}ab+\boxed{\text{(15)(16)}}c$

である．

(2)　曲線$y=x^3-16x$上の$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$がつくる三角形$▵\mathrm{PQR}$の重心の座標が$(2,40)$ならば$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$のうち少なくとも$1$点は$(\boxed{\text{(17)(18)}},\boxed{\text{(19)(20)(21)}})$である．

【３】

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{CA}=8$とすると$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{(22)(23)}}\sqrt{\boxed{\text{(24)}}}$であり，

$\sin A+\sin B+\sin C={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)(26)}}\sqrt{\boxed{\text{(27)}}}}{\boxed{\text{(28)(29)}}}}$

である．

【３】

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を全体集合$\mathrm{U}$の部分集合とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の要素の個数をそれぞれ$3\text{，}9$とする．このとき$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\subset \mathrm{C}$かつ$\mathrm{A}\subset \mathrm{B}\cup \mathrm{C}$ならば$\mathrm{A}$の可能な最大の要素の個数は$\boxed{\text{(30)(31)}}$である．

　$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$を$\mathrm{U}$の部分集合とする．$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の要素の個数をそれぞれ$25\text{，}9\text{，}17\text{，}20\text{，}10$とする．また$\mathrm{D}\subset \mathrm{E}\cup \mathrm{F}$かつ$\mathrm{E}\cap \mathrm{G}\subset \mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{D}\cap \bar{\mathrm{G}}$の可能な最小の要素の個数は$\boxed{\text{(32)(33)}}$である．

【４】　$a$を$2$放物線$y=x^2$と$y=-x^2+2ax-a^2+1$が接するような正の数とする．すなわち$2$放物線が共通の接線をもつように$a$が決められている．このとき，共通接線の方程式は$y=\sqrt{\boxed{\text{(34)(35)}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(36)(37)}}}{\boxed{\text{(38)(39)}}}}$である．また，この$2$放物線と$y$軸とで囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(40)}}}}{\boxed{\text{(41)}}}}$である．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数からなる集合で，$1$と$n$を含み，どの$2$数もその差が$1$より大きいもの全体の個数を$f(n)$と記す．ここで$2$数$a\text{，}b$の差とは$|a-b|$である．すると

$f(3)=\boxed{\text{(101)(102)}}\text{，}f(4)=\boxed{\text{(103)(104)}}\text{，}f(10)=\boxed{\text{(105)(106)}}\text{，}f(15)=\boxed{\text{(107)(108)(109)}}$

である．

　$1$以上$n$以下の自然数からなる集合$\mathrm{S}$で，$\{1,n\}\subset \mathrm{S}$ではなく，どの$2$数もその差が$1$より大きいもの全体の個数を$g(n)$で表す．ただし，空集合または要素が$1$つの集合は$\mathrm{S}$の条件をみたすとする．すると

$g(3)=\boxed{\text{(110)(111)}}\text{，}g(4)=\boxed{\text{(112)(113)}}\text{，}g(5)=\boxed{\text{(114)(115)}}$

である．

【６】　ピタゴラスの組とは$a^2+b^2=c^2\text{（}a<b<c\text{）}$となる自然数$a\text{，}b\text{，}c$の組のことである．たとえば

$3^2+4^2=5^2$

であるから，$(3,4,5)$はピタゴラスの組である．

　次のプログラムは$a\text{，}b\text{，}c$が$100$以下のピタゴラスの組$(a,b,c)$をすべて出力するものである．選択肢から空欄を埋めるもっとも適切なものを選び，その番号を答えなさい．

• 100 FOR A = 1 TO $\boxed{\text{(201)(202)}}$
• 110 LET X = $\boxed{\text{(203)(204)}}$
• 120 FOR B = $\boxed{\text{(205)(206)}}$ TO 100
• 130 LET Y = X + $\boxed{\text{(207)(208)}}$
• 140 LET C = $\boxed{\text{(209)(210)}}$
• 150 LET C = $\boxed{\text{(211)(212)}}$
• 160 IF C > 100 THEN GOTO 190
• 170 IF $\boxed{\text{(213)(214)}}$ > C * C THEN GOTO 190
• 180 PRINT "(" ; A ; "," ; B ; "," ; C ; ")"
• 190 NEXT B
• 200 NEXT A
• 210 END

[選択肢]

• (01)　1
• (02)　2
• (03)　3
• (04)　30
• (05)　50
• (06)　70
• (07)　X
• (08)　Y
• (09)　A * A
• (10)　B * B
• (11)　C * C
• (12)　A + 1
• (13)　A + 2
• (14)　A + B
• (15)　INT(A)
• (16)　INT(B)
• (17)　INT(C)
• (18)　INT(X)
• (19)　INT(Y)
• (20)　SQR(X)
• (21)　SQR(Y)