2010　上智大学　経済学部2月9日実施MathJax

【１】(1)　整式$x^{14}$を整式$x^3-1$で割った余りは

$\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　整式$x^{14}+2x^{12}-x^{10}$を整式$x^3-1$で割った余りは

$\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

である．

(3)　整式$x^{14}+2x^{12}-x^{10}$を整式$x^2+x+1$で割った余りは

$\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$

である．

(4)　$a\text{，}b$を定数とする．整式$x^{14}+a{x}^{10}+b{x}^6+2x^5+4x^3+1$が整式$x^2+x+1$で割り切れるとき

$a=\boxed{\text{ケ}}\text{，}b=\boxed{\text{コ}}$

である．

(5)　整式$x^{99}-1$を整式$x^3+x^2+x+1$で割った余りは

$\boxed{\text{サ}}{x}^2+\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}$

である．

【２】　座標平面において，曲線$C:y={(x-2)}^3$上の点$\mathrm{P}(t,{(t-2)}^3)$における接線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{セ}}{(t+\boxed{\text{ソ}})}^{2}x+\boxed{\text{タ}}{(t+\boxed{\text{チ}})}^2(t+\boxed{\text{ツ}})$

である．

(2)　$t\ne \boxed{\text{テ}}$のとき，$l$と$C$は異なる$2$つの共有点を持ち，$\mathrm{P}$と異なる共有点の$x$座標は$\boxed{\text{ト}}t+\boxed{\text{ナ}}$

である．

(3)　$t$が$0<t<2$を動くとき，$x$軸，$y$軸および直線$l$で囲まれる部分の面積は，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$をとる．

【３】　袋に玉が$1$個入っている．サイコロを投げ

・出た目が$1$または$2$ならば，袋から玉を$1$個取り出す．

・出た目が$3$または$4$ならば，袋に玉を$1$個入れる．

・出た目が$5$または$6$ならば，袋の玉はそのままにする．

　袋の中に玉がある限りこの操作を続行し，袋の中に玉がなくなったとき操作を終了する．

(1)　$3$回以下の操作で，操作を終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(2)　$3$回の操作で，袋の中の玉が$3$個になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(3)　$n$回の操作で袋の中の玉が$n$個になる確率は

$(\boxed{\text{ホ}}n+\boxed{\text{マ}}){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$

である．

(4)　$n\geqq 2$とする．$n$回の操作で袋の中の玉が$(n-1)$個になるのは，次の$2$通りの場合である．

(ⅰ)　$(n-1)$回「玉を入れ」，$1$回「玉を取り出す」場合．

　この場合の確率は

$(\boxed{\text{ミ}}n+\boxed{\text{ム}}){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$

である．

(ⅱ)　$(n-2)$回「玉を入れ」，$2$回「そのままにする」場合．

　この場合の確率は

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{メ}}{n}^2+\boxed{\text{モ}}n){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$

である．

(5)　$n\geqq 3$とする．$n$回の操作で袋の中の玉が$(n-2)$個になる確率は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}{n}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}{n}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}n+\boxed{\text{レ}}){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$

である．