2010　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$ab=2010$をみたす正の整数$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$は$\boxed{\text{ア}}$組ある．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　実数を係数とする$2$次方程式$2x^2+ax+b=0$の解が$5\pm 2i$のとき$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$である．ここで$i=\sqrt{-1}$（虚数単位）である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$3$個のサイコロを同時に投げる．ちょうど$2$個のサイコロの目が同じである確率は$\boxed{\text{エ}}$であり，少なくとも$2$個のサイコロの目が同じ確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$0\leqq t\leqq 2\pi$とする．ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\text{，}\overrightarrow{b}=(2+\cos t,\sin t)$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の最小値は$\boxed{\text{カ}}$で，最大値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

$\text{(v)}$　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}{(x-t)}^{2}dt$の最小値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　曲線$C:y=x^3-3x^2+2$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$上の点$\mathrm{P}(a,a^3-3a^2+2)$における$C$の接線$l_a$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　接線$l_a$が点$(0,3)$を通るときの$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　点$(0,k)$を通る$C$の接線の個数は，実数$k$の変化によってどのように変わるか調べよ．

【３】　漸化式

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{2{(a_{n+1})}^2}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定められた数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(ⅲ)　$a_n$が初めて$7$桁の数になるのは何項目か調べよ．

　ただし${\log }_{10}2=0.3010$として計算せよ．

【４】　$k$を正の定数とする．関数$f(x)=e^x-kx$に対して次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x>0$で$f(x)$が極値をもつ定数$k$の範囲と極値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた極値が$0$となるための定数$k$の値を求めよ．

(ⅲ)　定数$k$を(ⅱ)で求めたものとする．曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，$y$ 軸によって囲まれた図形の面積を求めよ．