2010　東邦大学　理学部B日程英数択一MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　関数$y=\sqrt{2x+1}$の逆関数は$y=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$y={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+\sqrt{x}$の第$2$次導関数は$y^{″}=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　関数$x{e}^{2x}$の不定積分は${\displaystyle \int }x{e}^{2x}dx=\boxed{\text{ウ}}$であり，また，次の定積分の値は${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{2x}dx=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　定数$a$と$k$が

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right)$

をみたすとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}k=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　点${\mathrm{P}}_1(a_1,0)$と曲線$C:y=e^x$について考える．

　点${\mathrm{Q}}_1(a_1,e^{a_1})$における$C$の接線を$l_1$とし，接線$l_1$と$x$軸の交点を${\mathrm{P}}_2(a_2,0)$とする．同様に$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{Q}}_n(a_n,e^{a_n})$における$C$の接線$l_n\text{，}{l}_n$と$x$軸の交点${\mathrm{P}}_{n+1}(a_{n+1},0)$を順次定める．$a_1=1$（すなわち${\mathrm{P}}_1(1,0)$）として次の問いに答えよ．

(ⅰ)　接線$l_1$の方程式を求め，$a_2$を求めよ．

(ⅱ)　接線$l_n$の方程式を$a_n$を用いて表し，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　三角形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積$s_n$を，$n$を用いて表せ．

$\text{(v)}$　無限級数$s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots$の和を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\sin }^2\theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & {\cos }^2\theta \end{array}\right)\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A^2=A$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　ベクトル$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{，}x\ne 0\text{，}y\ne 0\text{，}$が$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$をみたすとき，比$x:y$を$\theta$で表せ．

(ⅲ)　$a\text{，}b$は$0$と異なる任意の定数とする．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$を動くとき，

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\sin }^2\theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & {\cos }^2\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

をみたす点$\mathrm{P}(x,y)$は原点$(0,0)$を通り，中心が$({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{2}})$の円を描くことを示せ．