2010　南山大　経営学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$次関数$y={(x+1)}^2+\boxed{\text{ア}}$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{イ}}\text{，}y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき

$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{\alpha }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}=\boxed{\text{エ}}$

である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=\boxed{\text{オ}}$であり，$k=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　実数$x\text{，}t$に対して

${\log }_2(x+2^t)=2t-3$

が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$\boxed{\text{キ}}$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$において

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}C\text{かつ}5\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}$

であるとき，$\angle \mathrm{A}=\boxed{\text{ケ}}°$であり，分母を有理化すると${\tan }^{2}A=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$a$を正の実数とする．放物線$C:y=a{x}^2$上の点$\mathrm{P}(1,a)$における$C$の接線と$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線を$l$とする．$x\geqq 0$の領域で，$y$軸，$C$および$l$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$x$軸，$C$および$t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S_1$を$a$で表せ．

(3)　$S_1$が最小値をとるとき，$S_2$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$p>1$とし，$a_1=p\text{，}{a}_{n+1}={(a_n)}^{\frac{1}{n}}$で定まる数列$\left\{a_n\right\}$に対して，$b_n={\log }_p{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．このとき，$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=\boxed{\text{オ}}$である．また，$n\geqq 2$のとき

$S(n)=b_3+2b_4+3b_5+\cdots +(n-3)b_{n-1}+(n-2)b_n+(n-1)b_{n+1}$

を$n$の式で表すと，$S(n)=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　赤玉と白玉が$2k$個入った袋がある．一回の試行で，袋から玉を$1$個取り出しその色を見る．この試行を，いずれか一方の色の玉の取り出される回数が，他方の色の玉の取り出される回数よりもちょうど$2$だけ多くなったところで終了する．赤玉$6$個と白玉$4$個が入っていて，取り出した玉を袋に戻さないとき，総試行回数が$4$以下である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，赤玉と白玉がいずれも$k$個ずつ入っていて，取り出した玉を袋に戻すとき，総試行回数が$16$以下である確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　放物線$C:y=x^2-3x+3$上に，$x$座標の値が小さい順に$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を，$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}=3:4\text{，}\angle \mathrm{PQR}=90°\text{，}$直線$\mathrm{QR}$の傾きが$2$となるようにとる．また，$\mathrm{P}$を通り$\angle \mathrm{QPR}$を$2$等分する直線が再び$C$と交わる点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標の値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，直線$\mathrm{PT}$と$C$によって囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　条件Ａ『点$(a,b)$を通り，曲線$C:y=x^3-9x$に対して$3$本の異なる接線が引ける』を考える．

(1)　$C$上の点$(t,t^3-9t)$を接点とする接線の方程式を求めよ．

(2)　点$(a,b)$が条件Ａを満たすとき，$a\text{，}b$の間に成り立つ関係を導け．

(3)　前問(2)を満たす点$(a,b)$のうち，条件Ｂ『$|a|\leqq 3$，かつ，$a\text{，}b$はともに整数』を満たす点$(a,b)$の個数を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$から反時計回りに$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を条件Ａ$\text{『}\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{DO}=1\text{』}$が成り立つようにとり，五角形$\mathrm{OABCD}$を作る．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$として，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{CD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{BD}$を$5:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$を$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d}$で，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　条件Ａに加えて，条件Ｂ$\text{『}\mathrm{AB}⫽\mathrm{CD}\text{』}$が与えられたとする．このとき，前問(1)の$3$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{A}$が一直線上にあることを，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=k\overrightarrow{\mathrm{EF}}$となる実数$k$が存在することによって示せ．また，この$k$の値を求めよ．

(3)　条件Ａに加えて，条件Ｃ$\text{『}\mathrm{AB}⫽\mathrm{CD}\text{，}\angle \mathrm{DOA}=\angle \mathrm{OAB}=135°\text{，}\text{かつ，}\angle \mathrm{ABC}=60°\text{』}$が与えられたとする．このとき，内積$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d})$の値を求めよ．