2010　南山大　外国語・法2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$y=\cos 2\theta -2\sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\theta )=\boxed{\text{ア}}$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\theta )=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　実数$a\text{，}b$を係数とする方程式$x^3+a{x}^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=\boxed{\text{ウ}}$であり，$a\text{，}b$の値を求めると$(a,b)=\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x$についての方程式$9^x-a\cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$x\geqq \sqrt{2}\text{，}y\geqq 1\text{，}{x}^{2}y=4$のとき，$(1+{\log }_{2}x)({\log }_{2}y)$が最大値をとる$x\text{，}y$の値を求めると，$(x,y)=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,0)$を通る直線$l$を考える．$C$と$l$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{（}\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}\text{）}$で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$▵\mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=\boxed{\text{キ}}$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,0)$とするとき，$▵\mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上に直線$l:y=mx-4m$と放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$がある．$m$は，$l$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるような値をとるとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)　$l$は$m$の値にかかわりなく，ある定点を通る．この点の座標を求めよ．

(2)　$m$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上にそれを図示せよ．