2010　同志社大　政策学部・文化情報学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$f(x)=x^2\text{，}g(x)=-{(x-1)}^2-1$とする．放物線$C_1:y=f(x)$の頂点と異なる点$\mathrm{A}(a,f(a))$における放物線$C_1$の接線$l_1$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}$であり，放物線$C_2:y=g(x)$の頂点と異なる点$\mathrm{B}(b,g(b))$における放物線$C_2$の接線$l_2$の方程式は$y=\boxed{\text{イ}}$である．また点$\mathrm{A}$において$l_1$に直交する直線$m_1$の方程式は$y=\boxed{\text{ウ}}$であり，点$\mathrm{B}$において$l_2$に直交する直線$m_2$の方程式は$y=\boxed{\text{エ}}$である．直線$l_1$と直線$l_2$が平行であるためには$a$と$b$は関係式$\boxed{\text{オ}}=1$を満たさなければならない．直線$m_1$と$m_2$とが一致するとき$a$は$3$次方程式$h(a)=\boxed{\text{カ}}=0$を満たす．ただし$h(a)$の$a^3$の係数は$1$とする．$h(a)$の導関数は$h^{\prime }(a)=\boxed{\text{キ}}$であるから$3$次方程式$h(a)=0$は$\boxed{\text{ク}}$個の実数解を持つ．正の実数解を$\alpha$とすると${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$の整数部分は$\boxed{\text{ケ}}$である．次に直線$x=0$と直線$x=1$および放物線$C_1$と放物線$C_2$に囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2011$の$n$乗を$2010$で割れば$1$余ることを示せ．

(2)　$2^{4n}-1$を$17$で割った余りを求めよ．

(3)　$a_n=1+2+2^2+\cdots +2^n$と定める．$a_{2010}\text{，}{a}_{2011}\text{，}{a}_{2012}\text{，}{a}_{2013}$をそれぞれ$17$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$のひし形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．このひし形を対角線$\mathrm{BD}$で折り曲げてから，頂点$\mathrm{A}$と頂点$\mathrm{C}$を結ぶと$3$次元空間の図形である四面体$\mathrm{ABCD}$ができる．四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BD}$の長さを$x\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さを$y$とする．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$についての以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$において線分$\mathrm{AO}$の長さを$x$を用いて表せ，また辺$\mathrm{AC}$の長さ$y$の取り得る値の範囲を$x$を用いて表せ．

(2)　$x=y$のとき，$x$の取り得る値の範囲を求め，$▵\mathrm{ABD}$は鋭角三角形であることを示せ．

(3)　$▵\mathrm{BCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{A}$から$▵\mathrm{BCD}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$x=y$のとき，線分$\mathrm{AH}$の長さ$h$を$x$を用いて表せ．

(5)　$x=y$のとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$が最大となる$x$の値を求めよ．