2010　関西大　理系学部2月1日実施MathJax

【１】　関数$f(x)=\log (\sin x+2)\text{（}0<x<2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ．

(4)　$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．

【２】　平面上の四角形$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}\mathrm{OC}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立っているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\mathrm{CB}=\boxed{\text{①}}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{②}}$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$\boxed{\text{③}}$度である．

　$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{④}}\overrightarrow{b}$と書ける．

　$▵\mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$▵\mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t\leqq \boxed{\text{⑤}}$である．また，$▵\mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$t={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{⑦}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{⑧}}\overrightarrow{b}$であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\boxed{\text{⑨}}$である．

【３】　$x$の関数$y=|e^{-x}-a|$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty <a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)　$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x}-a|$のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ．

(2)　$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^{-x}-a|dx$とおく．$-\infty <a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が$-\infty <a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．このとき，${\alpha }^2+{\beta }^2=\boxed{\text{①}}$であり，さらに${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}+{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$xy$平面上の$3$点$(1,2)\text{，}(2,4)\text{，}(3,1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$n$は自然数とする．${(x+y+1)}^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$-1<x$において，関数$f(x)$は

$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1}}$

で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha )$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha =1+\sqrt{3}i$に対して，${\displaystyle \frac{{(\alpha +2)}^6}{{\alpha }^3}}$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　$0<x\leqq \pi$とする．方程式

$\sin 3x+\sin x=\cos x$

の解$x$をすべて求めると$\boxed{\text{⑦}}$である．