2010　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　$f(x)=e^{-\frac{1}{x}}\text{（}0<x<\infty \text{）}$とおく．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$f(x)$の第$1$次導関数と第$2$次導関数を求めると，

$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{①}}\text{，}{f}^{″}(x)=\boxed{\text{②}}$

であるから，変曲点の座標は$\boxed{\text{③}}$である．また，

$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=\boxed{\text{④}}\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\boxed{\text{⑤}}$

であるから，$y=f(x)$のグラフの概形をかくと，$\boxed{\text{⑥}}$となる．

　このとき，正の定数$a$に対して$2$つの曲線$y=f(x)$と$y={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}$点$\mathrm{Q}(a,{\displaystyle \frac{1}{f\left(a\right)}})$における接線$l_1\text{，}{l}_2$が垂直に交わるのは$a=\boxed{\text{⑦}}$のときであり，そのときの交点の座標は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【２】　空間内の点$\mathrm{A}(2,-2,0)\text{，}\mathrm{B}(-6,3,6)\text{，}\mathrm{C}(3,4,4)$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

　原点を$\mathrm{O}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$\boxed{\text{①}}$度である．このとき，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{②}}$である，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直であって，大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{h}$は$2$つあり，そのすべての成分が正である$\overrightarrow{h}$を成分で表すと$\overrightarrow{h}=\boxed{\text{③}}$である．

　$▵\mathrm{OAB}$を含む平面上の点を$\mathrm{P}$とすると，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は，実数$s\text{，}t$を用いて$s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$▵\mathrm{OAB}$を含む平面上を$\mathrm{P}$が動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の大きさが最小になるのは，$\mathrm{P}$の座標が$\boxed{\text{④}}$のときであり，そのときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|$は$\boxed{\text{⑤}}$である．また$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s\text{，}t$は，$s=\boxed{\text{⑥}}\text{，}t=\boxed{\text{⑦}}$である．このとき四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【３】　中心の座標が$(p,q)\text{（}p>0\text{）}$であって，$x$軸上に接点をもつ円を$C$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

　円$C$の方程式は${(x-p)}^2+{(y-q)}^2=\boxed{\text{①}}$と表される．

　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}(2a,a^2)\text{（}a>0\text{）}$における接線の方程式$l$は$y=\boxed{\text{②}}$であり，また点$\mathrm{P}$が円$C$上にもあるとき，円$C$上の$\mathrm{P}$における接線の方程式$l^{\prime }$は，$a\text{，}p\text{，}q$を用いて$y=\boxed{\text{③}}(x-2a)+a^2$と表される．$2$本の接線$l$と$l^{\prime }$が一致するとき，点$\mathrm{P}$の座標$(2a,a^2)$が円$C$の方程式を満たすことに注意すると，$p\text{，}q$は$a$を用いて

$p=a(\boxed{\text{④}})\text{，}q=\boxed{\text{⑤}}-\sqrt{\boxed{\text{⑤}}}$

と表される．このとき$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{q}{p}}=\boxed{\text{⑥}}$であり，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{q}{p}}=\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a$は実数とする．$x$の$2$次方程式

$x^2+2(a-2)x+a=0\cdots$(A)

$x^2-6x+3a=0\cdots$(B)

に対して，(A)が虚数解を持つかまたは(B)が実数解を持つような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 5\end{array}\right)$に対して，$A^2\text{，}{A}^3\text{，}\cdots$を計算すると，$A^n=\boxed{\text{②}}$であることがわかる．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}\cos x\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}dx$を求めると，$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　関数$f(x)=x\log x$は，$x=\boxed{\text{④}}$で極値をとる．曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=\boxed{\text{④}}\text{，}x=2$とで囲まれる図形の面積は$2\log 2-{\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{⑤}})$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は，すべての自然数$n$に対して漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+2}+a_n}{2}}$

を満たしている．$a_{10}=52\text{，}{a}_{20}=112$であるとき，初項$a_1$は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　自然数$n$に対して，

$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}x\text{，}x\leqq 2n\text{，}y\geqq 0$

を満たす整数の組$(x,y)$の個数は，$n$を用いて$\boxed{\text{⑦}}$で表される．