2010　関西学院大　理工学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$y=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{8}})({\log }_{2}2x)$を考える．$y={({\log }_{2}x)}^2-\boxed{\text{ア}}{\log }_{2}x-\boxed{\text{イ}}$が成り立ち，$1\leqq x\leqq 8$のとき，$y$は$x=\boxed{\text{ウ}}$で最大値$\boxed{\text{エ}}$をとり，$x=\boxed{\text{オ}}$で最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に赤玉$7$個と白玉$4$個が入っている．この袋から同時に$3$個取り出すとき，その取り出し方は$\boxed{\text{キ}}$通りある．取り出した$3$個の玉すべてが白玉である確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，赤玉$2$個と白玉$1$個である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，取り出した$3$個の玉のうち少なくとも$1$個が白玉である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,2,-1)\text{，}\mathrm{C}(1,-1,-2)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$は，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面上にあり，この平面と直線$\mathrm{CH}$は垂直である．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．比$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ADH}$の面積を求めよ．

【３】　$f(x)=x^2-4x+5\text{，}g(x)=-x^2-8x-15$とおく．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の上に点$\mathrm{A}(a,f(a))$をとり，曲線$y=g(x)$の上に点$\mathrm{B}(b,g(b))$をとる．点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とし，点$\mathrm{B}$における曲線$y=g(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$と$m$が平行なとき，$b$と$g(b)$を$a$で表せ．

(2)　$l$と$m$がともに直線$\mathrm{AB}$と直交するとき，$a$と$b$の値および線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の両方と共有点をもつ円の面積の最小値$S$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\cos }^{2}xdx$の値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos xdx$の値を求めよ．

(3)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(x-\pi a-{\displaystyle \frac{b}{\pi }}\cos x)}^{2}dx$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(4)　$I$の最小値とそのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．