2010　関西学院大　経済，国際，総合政策学部A方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$2$次方程式$x^2+2ax-a+2=0$が実数解をもつような実数$a$の値は$a\leqq \boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\leqq a$の範囲にある．この方程式の$1$つの解が$1$とすると，$a=\boxed{\text{ウ}}$であり，他の解は$\boxed{\text{エ}}$である．また，$2$次方程式$x^2+2ax-a+2=0$が実数解をもたないような整数$a$は全部で$\boxed{\text{オ}}$個ある．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$1000$までの数字が$1$つずつ書かれた$1000$個の玉が入った袋から$1$個の玉を取り出す．取り出した玉の数字が$5\text{，}7$のいずれでも割り切れる確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，$5$または$7$のいずれか一方のみで割り切れる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．取り出した玉の数字が$5\text{，}7\text{，}9$のいずれでも割り切れる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$5\text{，}7\text{，}9$のいずれでも割り切れない確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　自然数$n$が不等式$38\leqq {\log }_{10}{8}^n<39$を満たすとする．このとき$8^n$は$\boxed{\text{ア}}$桁の自然数で，$n$の値は$n=\boxed{\text{イ}}$である．また，$8^n$の一の位の数字は$\boxed{\text{ウ}}$で，最高位の数字は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2-\sqrt{3})$をとり，さらに第$1$象限内に点$\mathrm{C}$を，$\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{OAC}=150°$となるようにとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値は$\boxed{\text{オ}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．また$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角を$\alpha \text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角を$\beta$とすると，$\cos \alpha =\boxed{\text{キ}}\text{，}\cos \beta =\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　$xy$平面上の放物線$y=x^2-2x+4$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=x$上の点$\mathrm{A}(a,a)$から$C$に$2$本の接線が引けることを示せ．また，点$\mathrm{A}(a,a)$から$C$に引いた$2$本の接線の接点の$x$座標を$p\text{，}q$とするとき，$p+q$と$pq$をそれぞれ$a$の式で表せ．

(2)　放物線$C$と点$\mathrm{A}(a,a)$から$C$に引いた$2$本の接線で囲まれた図形の面積$S$を$a$の式で表せ．また，点$\mathrm{A}$が直線$y=x$上を動くとき，$S$を最小にする$a$の値とそのときの$S$の値を求めよ．