2010　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部A方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{AC}=x$（ただし，$0<x<1$），$\angle \mathrm{A}=60°$である$▵\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を$\angle \mathrm{CAP}=\angle \mathrm{ABP}$であるようにとる．このとき，$\angle \mathrm{APC}=\boxed{\text{ア}}$である．$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CP}\text{，}\mathrm{AP}$をそれぞれ$x$の式で表すと$\mathrm{BC}=\boxed{\text{イ}}\text{，}\mathrm{CP}=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\mathrm{AP}=\boxed{\text{エ}}$である．また，$▵\mathrm{APB}$の面積$S$を$x$の式で表すと$S=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$60$人に$2$問$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を出し，正解した人には$1$問につき$1$ポイントを与えた．$\mathrm{A}$を正解した人は$20$人，$\mathrm{B}$を正解した人は$15$人，$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$のどちらか一方だけ正解した人は$13$人いた．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$問とも正解した人は$x$人，$\mathrm{A}$だけ正解した人は$y$人，$\mathrm{B}$だけ正解した人は$z$人として，$y\text{，}z$を$x$を用いた式で表すと$y=\boxed{\text{カ}}\text{，}z=\boxed{\text{キ}}$となる．これらを用いて，$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{ク}}$となる．さらに，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$問とも正解しなかった人数は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$60$人が獲得した総ポイント数は$\boxed{\text{コ}}$ポイントである．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$f(\theta )={\cos }^2\theta -6\cos \theta \sin \theta -5{\sin }^2\theta \text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$は$f(\theta )=\boxed{\text{ア}}\cos 2\theta -\boxed{\text{イ}}\sin 2\theta -2$と表される．よって，$f(\theta )$は$\theta =\boxed{\text{ウ}}$において最大値$\boxed{\text{エ}}\text{，}\theta =\boxed{\text{オ}}$において最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は初項$a$で漸化式$a_{n+1}=2a_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとする．$a=\boxed{\text{キ}}$のとき，すべての$n$に対して$a_n=a$である．また$a=2$のとき，$a_n\geqq 100$となる最小の$n$を$n_1$とすると，$n_1=\boxed{\text{ク}}$である．そのとき$a_{n_1}=\boxed{\text{ケ}}$となる．$\boxed{\text{ケ}}-100$を初項とする数列$\{b_n\}$が漸化式$b_{n+1}=2b_n-30\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとする．$b_n<0$となる最小の$n$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$は$x=a$で極大値$f(a)$をとり，$x=b$で極小値$f(b)$をとるとする．また，$2$点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}\mathrm{Q}(b,f(b))$を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}f(a)\text{，}b\text{，}f(b)$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と曲線$y=f(x)$は$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$のほかに，点$\mathrm{M}$を共有することを示せ．

(3)　点$\mathrm{M}$を通る直線と曲線$y=f(x)$が$\mathrm{M}$以外に$2$つの共有点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$をもつとすると，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{RS}$の中点であることを示せ．