2010　福岡大学　理学部前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$f(x)={({\log }_{\frac{1}{2}}x)}^2+3{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2+10\text{（}4\leqq x\leqq 32\text{）}$とする．$t={\log }_{\frac{1}{2}}x$とおくと$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$f(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とすると$(M,m)=\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，不等式$\sin x>\sin 2x$を満たす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{(3)}}$である．また，等式$2\cos x=3\tan x$を満たす$x$の値は$x=\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{A}$の袋には赤玉$3$個，白玉$7$個，$\mathrm{B}$の袋には赤玉$6$個，白玉$4$個が入っている．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の袋からそれぞれ玉を$2$個ずつ取り出すとき，取り出した$4$個の玉に赤玉が含まれる確率は$\boxed{\text{(5)}}$であり，取り出した$4$個の玉のうち赤玉と白玉が同数となる確率は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 5\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$で点$(x,y)$が点$(1,2)$に移るとき，$(x,y)=\boxed{\text{(1)}}$である．また，合成変換$f\circ f$によって点$(3,2)$は点$\boxed{\text{(2)}}$に移る．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　空間の$4$点を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,12)$とする．$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AC}$の中点，$\mathrm{N}$を線分$\mathrm{BC}$の中点とし，線分$\mathrm{MN}$を$t:(1-t)$（$t$は$0<t<1$を満たす実数）に内分する点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{OH}$が線分$\mathrm{MN}$と直交するとき，$t$の値は$\boxed{\text{(3)}}$であり，三角形$\mathrm{OMN}$の面積は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線を$l_1\text{，}$曲線$C$の$x$軸に平行な接線を$l_2$とする．$C$と$l_1\text{，}{l}_2$によって囲まれる図形の面積を求めよ．