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2011-10007-0101
2011 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 x の 2 次関数 f⁡ (x ) が条件
f⁡( 0)= 3, f′⁡ (0 )=- 2, f′⁡ (3) =4
を満たすとする.
(1) f⁡( x) を求めよ.
(2) 曲線 y= f⁡( x) に点 ( 3 2, 0) から 2 本の接線を引いたとき,それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ.
(3) 曲線 y= f⁡( x) および(2)で求めた 2 本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ.
2011-10007-0102
【2】 正の整数 n に対して,
Sn⁡ (x) = ∫0x ⁡t n⁢e -t ⁢dt
とおく.ただし, e は自然対数の底とする.
(1) Sn+ 1⁡ (x ) を n , x および S n⁡( x) を用いて表せ.
(2) m を正の整数とする. x>0 のとき,不等式 e xm+ 1> x m+1 が成り立つことを示せ.また, limx →∞ ⁡ xme x= 0 となることを示せ.
(3) 数学的帰納法を用いて,すべての正の整数 n に対して, limx→ ∞⁡ Sn⁡ (x) =n! となることを示せ.
2011-10007-0103
【3】 数列 { an } が次の条件を満たすとする.
a1= 1, an+ 1= 12 ⁢ an+ 1 3n ( n= 1, 2, 3, ⋯)
(1) bn= 2n⁢ an とおくとき, bn+ 1-b n を n を用いて表せ.
(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.
2011-10007-0104
【4】 平行四辺形 OABC において, | OA→ |= | OC→ |= 1, かつ ∠AOC =120 ° であるとする.また, s ,t を実数とし, 2 点 P , Q をそれぞれ
OP→ =s⁢ OA→ +( 1-s) ⁢OC→ , OQ→ =t⁢ OB→
と定める.
(1) 内積 OP →⋅ PQ→ を t を用いて表せ.
(2) 内積 OP →⋅ PQ→ が 0 のとき,内積 OP →⋅ OQ→ を s を用いて表せ.
(3) (2)の条件のもとで,さらに点 Q が線分 OB 上にあるような s の値の範囲を求めよ.
2011-10007-0105
【5】 x ,y は実数で, x+2⁢ y=3 を満たすとする.さらに,行列 A= ( 22 2-1 ) に対して等式 A ⁢( xy )= -2⁢ (x y ) が成り立つとする.
(1) x , y の値を求めよ.
(2) 行列 P= ( 2x 1y ) は逆行列をもつことを示し, P-1 ⁢A⁢ P を求めよ.
(3) 正の整数 n に対して, An を求めよ.