2011　福島大学　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の不等式を解きなさい．

$-2{({\log }_{2}x)}^2+9{\log }_{8}2x<1$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　放物線$y=-x^2$に，点$\mathrm{A}(0,a)$から引いた$2$本の接線のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるときの$a$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2\sin 2xdx$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{O}$を頂点とし，$1$辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=1$を満たしているとする．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{BQ}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$になるときの$t$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2$上を動くとき，定点$\mathrm{A}(1,a)$と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を$a$を用いて書きなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{\sin 3x}}{e}^{2t}dt$を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの容器$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．はじめ$\mathrm{A}$の容器には$100\mathrm{g}$の純水が，$\mathrm{B}$の容器には濃度$s\mathrm{\%}$の食塩水$100\mathrm{g}$が入っている．$\mathrm{A}$の$3$分の$1$を捨て，捨てた量と同じ重さ$(\mathrm{g})$の$\mathrm{B}$の食塩水を$\mathrm{A}$の容器に移したのち，$\mathrm{A}$をよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後の$\mathrm{A}$の食塩水に含まれる食塩の重さ$(\mathrm{g})$を$w_k$とする（$k=1\text{，}2\text{，}3$）．$w_1\text{，}{w}_2\text{，}{w}_3$を$s$を用いて表しなさい．

(2)　上記(1)の操作の後，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の溶液を捨て，改めて$\mathrm{A}$の容器には$100\mathrm{g}$の純水を，$\mathrm{B}$の容器には濃度$s\mathrm{\%}$の食塩水$100\mathrm{g}$を入れる．自然数$n$について，$\mathrm{A}$の$n$分の$1$を捨て，捨てた量と同じ重さ$(\mathrm{g})$の$\mathrm{B}$の食塩水を$\mathrm{A}$の容器に移したのち$\mathrm{A}$をよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後の$\mathrm{A}$の濃度を$a_k\mathrm{\%}$とする（$1\leqq k\leqq n$）．$1\leqq k\leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．