2011　千葉大学　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目を$a_1\text{，}2$回目に出る目を$a_2\text{，}3$回目に出る目を$a_3$とし，整数$n$を

$n=(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1)$

と定める．

(1)　$n=0$である確率を求めよ．

(2)　$\left|n\right|=30$である確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{4}}\text{，}$外接円の半径は$1\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60°\text{，}\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$である．

　このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さを求めよ．

【３】　四角錐$\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さ$2$の正方形で，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\sqrt{5}$

である．

(1)　四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．

(2)　四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する$S$の半径を求めよ．

(3)　内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．

【４】　実数$x$の関数$f\left(x\right)=|x-1|(x-2)$を考える．$y=f\left(x\right)$のグラフと直線$y=x+a$との共有点の個数は，定数$a$の値によって，どのように変わるかを調べよ．

【５】　$a$は正の実数とし，座標平面上の直線$l:y=x$と放物線$C:y=a{x}^2$を考える．$C$上の点$(x,y)(\text{ただし}0<x<{\displaystyle \frac{1}{a}})$で$l$との距離を最大にする点を$\mathrm{P}(s,t)$とおく．また$\mathrm{P}$と$l$との距離を$d$とおく．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$d\text{，}s\text{，}t$をそれぞれ$a$の式で表せ．また点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線の傾きを求めよ．

(2)　実数$a$を$a>0$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{P}(s,t)$の軌跡を求め，図示せよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．

(2)　$k$が$k\ne {\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす実数で，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

【７】　$n\text{人（}n\geqq 3\text{）}$でじゃんけんを$1$回行うとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$人だけが勝つ確率を求めよ．

(2)　あいこになる確率を求めよ．

(3)　勝つ人数の期待値を求めよ．

　ここで「あいこ」とは$1$種類または$3$種類の手が出る場合であり，勝つ人数が$0$の場合である．

【８】　$n$段の階段を上るのに，一歩で$1$段，$2$段，または$3$段を上ることができるとする．この階段の上り方の総数を$a_n$とおく．たとえば，$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_3=4$である．

(1)　$a_4\text{，}{a}_5$の値を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}{a}_{n+1}\text{，}{a}_{n+2}\text{，}{a}_{n+3}\text{（}n\geqq 1\text{）}$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$a_{10}$の値を求めよ．

【９】　$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．座標平面上に$1$辺の長さが$r^n$の正方形$R_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$があり，その頂点を反時計回りに${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n\text{，}{\mathrm{C}}_n\text{，}{\mathrm{D}}_n$とする．さらに$R_n$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとする．

(ⅰ)　正方形$R_0$の頂点は${\mathrm{A}}_0(0,0)\text{，}{\mathrm{B}}_0(1,0)\text{，}{\mathrm{C}}_0(1,1)\text{，}{\mathrm{D}}_0(0,1)$である．

(ⅱ)　${\mathrm{A}}_{n+1}={\mathrm{C}}_n$で，点${\mathrm{D}}_{n+1}$は辺${\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$上にある．

　このとき以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$の座標を$r$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{A}}_{4n}$の座標を$(x_n,y_n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r\text{，}n$の式で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を$r$を用いて表せ．

【10】　三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$重心を$\mathrm{G}\text{，}$内心を$\mathrm{I}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．

(2)　$k$が$k\ne {\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす実数で，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

【11】　$f\left(x\right)=x{\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}}\text{，}g\left(x\right)=\log (1+x^2)$（$x$は実数）とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}f\left(x\right)dx$の値を求めよ．

(2)　$x>0$のとき$f\left(x\right)>g\left(x\right)$であることを証明せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{\right({\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log (k^2+n^2))-2\log n\}$の値を求めよ．

【12】　$k+1$個（$k\geqq 1$）の部屋${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}⃛\text{，}{\mathrm{A}}_k$がある．千葉君はある部屋から，その部屋以外の部屋を等しい確率${\displaystyle \frac{1}{k}}$で$1$つ選び，そこへ移動する．最初，部屋${\mathrm{A}}_0$にいた千葉君が，$n$回（$n\geqq 1$）部屋を移動した後に部屋${\mathrm{A}}_1$にいる確率を求めよ．

【13】　$a\text{，}b\text{，}c$は実数とし，

$f\left(x\right)=x^4+b{x}^2+cx+2$

とおく．さらに$4$次方程式$f\left(x\right)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$と$2$つの虚数解をもち，

$\alpha +\beta =-(a+1)\text{，}\alpha \beta ={\displaystyle \frac{1}{a}}$

を満たすと仮定する．

(1)　$b\text{，}c$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

【14】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式

$\sqrt{x^2+y^2}\geqq x+y+a\sqrt{xy}$

が任意の正の実数$x\text{，}y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．

(2)　$0$以上$1$以下の実数 $a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して

$abcd\leqq {\displaystyle \frac{4}{27}}$または$(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)\leqq {\displaystyle \frac{4}{27}}$

が成り立つことを証明せよ．

【15】　座標平面上の点$(x,y)$が

$\{\begin{array}{l}{(x^2+y^2)}^2-(3x^2-y^2)y=0\\ x\geqq 0\\ y\geqq 0\end{array}$

で定まる集合上を動くとき，$x^2+y^2$の最大値，およびその最大値を与える$x\text{，}y$の値を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部（算数科選修，理科教育分野，技術科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　文学部（行動科学科），法経学部　【１】，【２】，【５】，【６】

園芸学部　【２】，【５】，【６】，【７】

教育学部（情報教育分野）　【２】，【５】，【６】，【８】

教育学部（数学教育分野）　【２】，【３】，【５】，【６】，【７】，【８】

数学I数学II数学III数学A数学B数学C

理学部（生物，地球科学科），工学部（建築，都市環境システム，デザイン学科）　【５】，【９】，【10】，【11】，【12】

理学部（物理，化学科），薬学部，工学部（機械工，メディカルシステム工，電気電子工，ナノサイエンス，共生応用化，画像科，情報画像学科），先進科学プログラム　【９】，【10】，【11】，【12】，【13】

医学部　【10】，【12】，【13】，【14】，【15】

理学部（数学・情報数理学科）　【７】，【９】，【10】，【11】，【12】，【13】