2011　東京医科歯科大学　前期

【１】　ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，$3$回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，

操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$

操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$

とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$P_3\text{，}{P}_4\text{，}{P}_5\text{，}{P}_6\text{，}{P}_7$をそれぞれ求めよ．

(2)　$Q_6\text{，}{Q}_7$をそれぞれ求めよ．

(3)　$n\geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．

(4)　$n\geqq 4$のとき，$Q_n<{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．

【２】　座標平面において，原点を$\mathrm{O}$とし，次のような$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を考える．

(a)　点$\mathrm{P}$は$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．

(b)　点$\mathrm{Q}$は第$1$象限にあって，$\mathrm{OQ}=\mathrm{QP}=1$を満たす．

(c)　点$\mathrm{R}$は第$1$象限にあって，$\mathrm{OR}+\mathrm{RP}=2$を満たし，かつ線分$\mathrm{RP}$が$x$軸に垂直となる．

　ただし，座標軸は第$1$象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　上の条件を満たす$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が存在するような，点$\mathrm{P}$の$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．

(2)　(1)の範囲を点$\mathrm{P}$が動くとき，線分$\mathrm{QR}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OP}$の中点を$\mathrm{M}$とする．(1)の範囲を点$\mathrm{P}$が動くとき，四角形$\mathrm{MPRQ}$の面積を最大にする点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

【３】　自然数$n$に対し

$S_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1-{(-x)}^n}{1+x}}dx$

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k(k+1)}}$

とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　次の不等式を示せ．

$|S_n-{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x}}dx|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

(2)　$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

【１】　ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，$3$回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，

操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$

操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$

とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$P_3\text{，}{P}_4\text{，}{P}_5\text{，}{P}_6\text{，}{P}_7$をそれぞれ求めよ．

(2)　$Q_6\text{，}{Q}_7$をそれぞれ求めよ．

(3)　$n\geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．

(4)　任意の自然数$n$に対して$Q_{4n+2}\leqq {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$が成り立つことを示せ．

【３】　自然数$n$に対し

$S_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1-{(-x)}^n}{1+x}}dx$

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k(k+1)}}$

とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$S_{n+1}-S_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　次の不等式を示せ．

$|S_n-{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x}}dx|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

(3)　次の等式を示せ．

$T_n=2S_n-1+{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{n+1}}$

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．