2011　東京農工大学　前期

2011-10265-0101

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易□　並□　難□

【１】　座標平面上に放物線 $y = x^{2} - 2 x + 3$ と点 $A (2, t) （ t < 3 ）$ がある．この放物線に点 $A$ から引いた $2$ 本の接線の接点をそれぞれ $P ， Q$ とする．ただし， $x$ 座標の大きな方を $P$ とする．また， $2$ 点 $P ， Q$ を通る直線と $y$ 軸との交点を $R$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ の $x$ 座標を $t$ の式で表せ．

(2)　点 $R$ の $y$ 座標を $t$ の式で表せ．

(3)　ベクトル $\vec{AP}$ と $\vec{AQ}$ が垂直になるような $t$ の値を $t_{0}$ とする． $t_{0}$ を求めよ．ただし答えのみでよい．

(4)　 $t = t_{0}$ のときの $A ， P ， Q ， R$ について， $\vec{AR} = α \vec{AP} + β \vec{AQ}$ と表す． $α ， β$ の値を求めよ．ただし， $α ， β$ は実数とする．

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【２】　 $a ， b$ を実数とする．行列

$A = (\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) ， C = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ a & b \end{matrix})$

について，次の問いに答えよ．

(1)　 $AC = CB$ が成り立つときの $a ， b$ を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　 $(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}) = {(A^{- 1})}^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ によって $x_{n} ， y_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を定める．このとき， $x_{n} ， y_{n}$ を $n$ の式で表せ．ただし， $A^{- 1}$ は $A$ の逆行列である．

(3)　 $x_{n} ， y_{n}$ は(2)で求めたものとし， $O$ を原点とする $x y$ 平面上の点 $(x_{n}, y_{n})$ を $P_{n}$ とする．このとき， ${OP}_{n}^{2} > 8.3$ となるような $n$ をすべて求めよ．

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【３】　 $2$ つの関数

$f (x) = \sin 3 x + \sin x + \cos x ， g (x) = \cos 3 x$

について，次の問いに答えよ．

(1)　区間 $0 ≦ x ≦ n π$ における $2$ つの曲線 $y = f (x) ， y = g (x)$ の交点の個数を $r$ とする． $r$ を $n$ の式で表せ．ただし， $n$ は正の整数とする．

(2)　区間 $0 ≦ x ≦ π$ において $f (x) < g (x)$ をみたす $x$ の範囲を求めよ．

(3)　定積分

$I = \int_{0}^{π} | f (x) - g (x) | d x$

の値を求めよ．

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【４】　 $c$ を正の実数とする．関数 $f (x) = (x + c) e^{2 x}$ について，次の問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(1)　 $y = f (x)$ は $x = k$ のとき最小値 $m$ をとる．このとき， $k$ と $m$ を $c$ の式で表せ．

(2)　 $k$ を(1)で求めた値とする．このとき，定積分

$T = \int_{k}^{- c} f (x) d x$

を $c$ の式で表せ．

(3)　 $T$ を(2)で求めた値とする．区間 $- c ≦ x ≦ 0$ において，曲線 $y = f (x) ， x$ 軸および $y$ 軸のすべてで囲まれた部分の面積を $S$ とする． $S = \frac{e}{2 - e} T$ となるときの $c$ の値を求めよ．

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