Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2011年度一覧へ
大学別一覧へ
東京農工大一覧へ
2011-10265-0101
2011 東京農工大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上に放物線 y =x2- 2⁢x+ 3 と点 A (2 ,t) ( t<3 ) がある.この放物線に点 A から引いた 2 本の接線の接点をそれぞれ P ,Q とする.ただし, x 座標の大きな方を P とする.また, 2 点 P ,Q を通る直線と y 軸との交点を R とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 P の x 座標を t の式で表せ.
(2) 点 R の y 座標を t の式で表せ.
(3) ベクトル AP → と AQ → が垂直になるような t の値を t 0 とする. t0 を求めよ.ただし答えのみでよい.
(4) t=t 0 のときの A ,P , Q , R について, AR→ =α⁢ AP→+ β⁢AQ → と表す. α ,β の値を求めよ.ただし, α ,β は実数とする.
2011-10265-0102
【2】 a ,b を実数とする.行列
A=( -2 -1 54 ), B=( -1 0 03 ), C=( 1 1a b )
について,次の問いに答えよ.
(1) AC=CB が成り立つときの a , b を求めよ.ただし答えのみでよい.
(2) ( xn yn )= ( A-1 ) n⁢( 1 3 ) によって xn ,yn ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を定める.このとき, xn , yn を n の式で表せ.ただし, A-1 は A の逆行列である.
(3) xn , yn は(2)で求めたものとし, O を原点とする x y 平面上の点 ( xn, yn ) を Pn とする.このとき, OPn 2>8.3 となるような n をすべて求めよ.
2011-10265-0103
【3】 2 つの関数
f⁡( x)= sin⁡3⁢ x+sin⁡ x+cos⁡ x ,g⁡ (x) =cos⁡3 ⁢x
(1) 区間 0 ≦x≦n ⁢π における 2 つの曲線 y =f⁡( x) ,y= g⁡( x) の交点の個数を r とする. r を n の式で表せ.ただし, n は正の整数とする.
(2) 区間 0 ≦x≦π において f⁡( x)< g⁡( x) をみたす x の範囲を求めよ.
(3) 定積分
I= ∫0π | f⁡( x)- g⁡( x) |⁢ dx
の値を求めよ.
2011-10265-0104
【4】 c を正の実数とする.関数 f⁡( x)= (x+ c)⁢ e2⁢ x について,次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.
(1) y= f⁡( x) は x =k のとき最小値 m をとる.このとき, k と m を c の式で表せ.
(2) k を(1)で求めた値とする.このとき,定積分
T= ∫k- c f⁡( x)⁢ dx
を c の式で表せ.
(3) T を(2)で求めた値とする.区間 - c≦x≦ 0 において,曲線 y =f⁡( x) ,x 軸および y 軸のすべてで囲まれた部分の面積を S とする. S= e2-e ⁢ T となるときの c の値を求めよ.