2011　お茶の水女子大学　後期理学部MathJax

【１】　赤黄青の三個のサイコロを一度に振って出た目の数を赤黄青の順に百の位，十の位，一の位として数を作ることにする．

(1)　出来た数が$5$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　出来た数が$6$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さんがサイコロを振り，$\mathrm{A}$さんは出来た数が$6$の倍数の場合に当たりとし，$\mathrm{B}$さんは出来た数が$5$の倍数の場合に当たりとする．いま$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さんの順にサイコロを振っていき，どちらかが当たりを出したらそこで終了することにする．ただし，$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さんがそれぞれ$n$回ずつ振っても当たりが出なかった場合はその時点で引き分けとし終了する．$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんのどちらが当たりを出す確率が高いか答えよ．

(4)　(3)において，$\mathrm{A}$さんの当たりを，出来た数が$7$の倍数の場合にかえると，$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんのどちらが当たりを出す確率が高いか答えよ．

【２】　$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を空間内の$4$点とし，$\mathrm{OABC}$は一辺の長さが$1$の正四面体$T$をなすものとする．

(1)　$x\text{，}y\text{，}z$を実数とする．空間内の点$\mathrm{X}$の位置ベクトルが

$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}+z\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

で与えられているとき，$\mathrm{OX}$の長さを$x\text{，}y\text{，}z$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にそれぞれ$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が与えられているものとし，$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}\text{，}\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．(1)の$\mathrm{X}$が$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を含む平面上にあるとき

${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1$

となることを示せ．

(3)　(2)の$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を含む平面上に点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PR}}$となるように定める．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=l\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}+n\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

となる$l\text{，}m\text{，}n$を求めよ．

【３】(1)　$x^7+1$を$x^3+x+1$で割るとき，余りの多項式の係数はすべて偶数であることを示せ．

(2)　整数を係数とする$x$の多項式$P(x)$を$x^3+x+1$で割るとき，その商も余りも整数を係数とする多項式になることを，$P(x)$の次数に関する数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　$n$を自然数とする．$x^{7n}+1$を$x^3+x+1$で割るとき，余りの多項式の係数はすべて偶数であることを示せ．