2011　一橋大学　前期MathJax

【１】(1)　自然数$x\text{，}y$は，$1<x<y$および

$(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})(1+{\displaystyle \frac{1}{y}})={\displaystyle \frac{5}{3}}$

をみたす．$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

(2)　自然数$x\text{，}y\text{，}z$は，$1<x<y<z$および

$(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})(1+{\displaystyle \frac{1}{y}})(1+{\displaystyle \frac{1}{z}})={\displaystyle \frac{12}{5}}$

をみたす．$x\text{，}y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\angle \mathrm{AOB}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるようにとり$\theta =\angle \mathrm{AOB}$とおく．この円周上に点$\mathrm{C}$を，線分$\mathrm{OC}$が線分$\mathrm{AB}$と交わるようにとり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$をとる．また，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$上を，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$上を，それぞれ動くとする．

(1)　$\mathrm{CP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QC}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．

(2)　$a=\mathrm{OD}$とおく．$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値を$a$と$\theta$で表せ．

(3)　さらに，点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くときの$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．

【３】　$xy$平面上に放物線$C:y=-3x^2+3$と$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{P}(0,3p)$がある．線分$\mathrm{AP}$と$C$は，$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{Q}$を共有している．

(1)　定数$p$の存在する範囲を求めよ．

(2)　$S_1$を，$C$と線分$\mathrm{AQ}$で囲まれた領域とし，$S_2$を，$C\text{，}$線分$\mathrm{QP}\text{，}$および$y$軸とで囲まれた領域とする．$S_1$と$S_2$の面積の和が最小となる$p$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の定数とする．空間内に$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)$がある．

(1)　辺$\mathrm{AB}$を底辺とするとき，$▵\mathrm{ABC}$の高さを$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{OAB}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}$の面積をそれぞれ$S\text{，}{S}_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．このとき，不等式

$\sqrt{3}S\geqq S_1+S_2+S_3$

が成り立つことを示せ．

(3)　(2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が，$1$個のサイコロを次の手順により投げ合う．

$1$回めは$\mathrm{A}$が投げる．

$1\text{，}2\text{，}3$の目が出たら，次の回には同じ人が投げる．

$4\text{，}5$の目が出たら，次の回には別の人が投げる．

$6$の目が出たら，投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない．

(1)　$n$回目に$\mathrm{A}$がサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ．

(2)　ちょうど$n$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝つ確率$p_n$を求めよ．

(3)　$n$回以内のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝つ確率$q_n$を求めよ．