2011　東京海洋大学　前期海洋科学部

【１】　$3$次関数$f(x)$を$f(x)=x^3-4x$で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　点$(1,4)$を通る直線と$y=|f(x)|$のグラフが，$x>0$の範囲において$2$個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．

【２】　関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$に対して次の等式が成り立っているとする．

$f^{\prime }(x)=x{\displaystyle {\int }_{-2}^1}f(t)dt+{\displaystyle {\int }_0^1}t{f}^{\prime }(t)dt$

このとき，次の問に答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数で$a>0$とする．

(1)　$b\text{，}c$を$a$で表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$の$x\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$の部分と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積が$1$のとき，$a$の値を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，次を証明せよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の長さが等しくなるような$\pm 1$以外の実数$t$が存在することは$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$であるための必要十分条件である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が垂直になるような$t<-1$である実数$t$が存在することは$\mathrm{\angle AOB}<90\mathrm{°}$であるための必要十分条件である．

【４】　表と裏が同じ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で出る$2$つの硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$がこの$2$つの硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，硬貨$\mathrm{A}$を投げて表が出たら$x$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$x$軸方向に$-1$移動する．また，硬貨$\mathrm{B}$を投げて表が出たら$y$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$y$軸方向に$-1$移動する．点$\mathrm{P}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$4$回目の操作で初めて原点にもどる確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$6$回目の操作で直線$y=4-x$の上にある確率を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(p+{\displaystyle \frac{k}{n}})}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし$p$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての実数$p$に対して，$a_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{12}}(1-{\displaystyle \frac{1}{n^2}})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(2)　$p={\displaystyle \frac{5}{3}}$のとき，$a_n<5$となる最小の$n$の値を求めよ．