2011　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 1\end{array}\right)$に対し，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)\text{，}{p}_n={\displaystyle \frac{a_n}{c_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．

(1)　数学的帰納法を用いて，$a_n=d_n$および$b_n=c_n$が成り立つことを示せ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(3)　$q_n={\displaystyle \frac{1}{p_n-1}}$とおくとき，$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=6$であるような$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{AF}:\mathrm{FD}$を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とする．関数$f(x)=x(a-x)\text{，}g(x)=x^2(a-x)$に対し，$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}{C}_2\text{：}y=g(x)$を考える．以下の問に答えよ．ただし，${\displaystyle \int }{x}^{3}dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

(1)　$g(x)$の極値を$a$を用いて表せ．

(2)　$0<a\leqq 1$とする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が，$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積の$3$倍になるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a>1$とする．$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれてできる$2$つの図形の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めよ．

【４-Ⅰ】　$a$を定数とする．放物線$C\text{：}y=x^2+a$上の点$(t,t^2+a)\text{（}t>0\text{）}$における接線$l$が原点を通るとする．直線$l$に関して$y$軸と対称な直線を$m$とする．

(1)　$a$を$t$を用いて表せ．

(2)　$y$軸と直線$l$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．

(3)　直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．

(4)　放物線$C$と直線$m$が接するとき，$t$の値を求めよ．

(5)　(4)のとき，放物線$C$を直線$l$に関して対称移動した曲線を$C_1\text{，}$直線$m$に関して対称移動した曲線を$C_2$とする．$C\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４-Ⅱ】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$y=\cos x$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_1$を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }x\cos xdx$と${\displaystyle \int }{x}^2\sin xdx$を求めよ．

(3)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_2$を求めよ．