2011　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　実数$a$に対して$2$次方程式

$x^2-5x+6-a=0$

を考える．また，この$2$次方程式が整数解を持つような$a$を小さい順に並べたものを$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　この$2$次方程式が実数解を持つような$a$の範囲を求めなさい．

(2)　$a_1$と$a_2$を求めなさい．

(3)　$a_n$を$n$の式で表しなさい．

(4)　$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$とおく．$S_n$を$n$の式で表しなさい．

【２】　半径$1$の球を含む円すいの体積の最小値，およびそのときの円すいの高さと底面の半径を求めなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(t,e^{2t})$における接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{Q}$が$x$軸の正の部分にあるような$t$の範囲を求めなさい．

(2)　$t$が前問の範囲にあるとき，$C$および$3$直線$l\text{，}y=0\text{，}x=0$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$種類のカードがある．$\mathrm{A}$を$2$枚，$\mathrm{B}$を$3$枚それぞれ積み重ね，$3$人の人が順番に$1$枚のカードを次のように持ち帰ることにする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両方のカードが残っているときは$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かを確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で選んで$1$枚持ち帰る．また，どちらか一方のカードしか残っていないときはそれを$1$枚持ち帰る．このようにすると最後に$2$枚のカードが残る．これについて次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．

(3)　$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．

＊(3)は募集要項に示した出題範囲外の問題であるため，受験者全員を正解とした．