2011　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

【１】　座標平面上に点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4)$をとる．また，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，$▵\mathrm{OAB}$の内接円を$C_1\text{，}▵\mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　円$C_1$の半径$r_1$と中心${\mathrm{P}}_1$の座標を求めよ．

(2)　円$C_2$の半径$r_2$と中心${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(3)　円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．

【２】　実数$x$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^2}|t-x|dt$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．

(2)　$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものを$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(3)　直線$x=-1\text{，}$接線$l\text{，}$曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　座標平面上に$\mathrm{A}(p,q)\text{，}\mathrm{B}(-q,p)\text{，}\mathrm{C}(-p,-q)\text{，}\mathrm{D}(q,-p)$を頂点とする正方形がある．ただし，$p>0\text{，}q>0\text{，}{p}^2+q^2=1$とする．また，直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$が直線$x+y=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}(r,s)\text{，}\mathrm{F}(t,u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$の方程式を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$r\text{，}s\text{，}t\text{，}u$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$k=p+q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k\leqq \sqrt{2}$を示せ．

(4)　$st-ru$を$k$の式で表せ．また，$st-ru$の最小値を求めよ．