2011　静岡大学　後期MathJax

【１】　$2$より大きい実数$c$に対して，数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n={\displaystyle \frac{n}{c^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられている．次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，$a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{2}{c}}{a}_n$が成立することを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$を示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$t_1=a$とし，曲線$C\text{：}y=e^{-x}$上の点$(t_1,e^{-t_1})$における接線を$l_1\text{，}{l}_1$と$x$軸との交点を$(t_2,0)$とする．次に$C$上の点$(t_2,e^{-t_2})$における接線を$l_2\text{，}{l}_2$と$x$軸との交点を$(t_3,0)$とする．以下同様にして，接線$l_3\text{，}{l}_4\text{，}{l}_5\text{，}\cdots$および実数$t_4\text{，}{t}_5\text{，}{t}_6\text{，}\cdots$を定める．曲線$C\text{，}$接線$l_n$および直線$x=t_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$I_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　各自然数$n$に対して$t_n$を$a$を用いて表せ．

(2)　$I_1$を$a$を用いて表せ．

(3)　$I_n$を$a$および$n$を用いて表せ．

(4)　$S_n=I_1+I_2+I_3+\cdots +I_n$とおく．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$a$を用いて表せ．

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$が成立することを示せ．

(2)　$A$が$A^2-3A+2E=O$を満たすとき，$2$次方程式$x^2-(a+d+1)x+ad-bc+2=0$の解となりうるすべての値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数，$m$を整数とする．関数$f(x)=x^3+3a{x}^2-3a^{2}x+m$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は極大値および極小値をそれぞれ$1$つずつ持つことを示し，極値を与える$x$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$f(x)$の極大値から極小値を引いた値が$8\sqrt{2}$となるときの$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値における$f(x)$のグラフが$x$軸と相異なる$3$点で交わるような最大の整数$m$の値を求めよ．また，そのときの$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{BC}=b\text{，}\mathrm{CD}=c\text{，}\mathrm{DA}=d$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle DAB}=\theta$とおく．$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$s={\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$とおく．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$となることを示せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

【４】　$a$を実数とする．$t_1=a$とし，曲線$C\text{：}y=e^{-x}$上の点$(t_1,e^{-t_1})$における接線を$l_1\text{，}{l}_1$と$x$軸との交点を$(t_2,0)$とする．次に$C$上の点$(t_2,e^{-t_2})$における接線を$l_2\text{，}{l}_2$と$x$軸との交点を$(t_3,0)$とする．以下同様にして，接線$l_3\text{，}{l}_4\text{，}{l}_5\text{，}\cdots$および実数$t_4\text{，}{t}_5\text{，}{t}_6\text{，}\cdots$を定める．次の問いに答えよ．

(1)　各自然数$n$に対して$t_n$を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$C\text{，}$接線$l_n$および直線$x=t_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$I_n$とおき，$S_n=I_1+I_2+I_3+\cdots +I_n$とおく．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$a$を用いて表せ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$p$を$2$とは異なる素数とする．$m^2=n^2+p^2$を満たす自然数の組$(m,n)$がただ$1$組存在することを証明せよ．

(2)　$m^2=n^2+{12}^2$を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{BC}=b\text{，}\mathrm{CD}=c\text{，}\mathrm{DA}=d$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle DAB}=\theta$とおく．$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$s={\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$とおく．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$となることを示せ．