2011　名古屋大学　前期

【１】(1)　関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$を通るものをすべて求めよ．

(3)　$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$x^3-x^2=p(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})$の異なる実数解の個数を求めよ．

【２】　数字の$2$を書いた玉が$1$個，数字の$1$を書いた玉が$3$個，数字の$0$を書いた玉が$4$個あり，これら合計$8$個の玉が袋に入っている．以下の(1)から(3)のそれぞれにおいて，この状態の袋から$1$度に$1$個ずつ玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(1)　玉を$2$度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が$2$である確率を求めよ．

(2)　玉を$4$度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が$4$である確率を求めよ．

(3)　玉を$8$度取り出すとき，次の条件が満たされる確率を求めよ．

条件：すべての$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}8$に対して，$1$個目から$n$個目までの玉に書かれた数字の合計は$n$以下である．

【３】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$がある．

(1)　$a>0$とする．$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:a$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$a>1>b>0$とする．$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=1:a:b$を満たす点$\mathrm{P}$が存在するための$a\text{，}b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

【１】　$-{\displaystyle \frac{1}{4}}<s<{\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．$xyz$空間内の平面$z=0$の上に長方形

$R_s=\{(x,y,0)|1\leqq x\leqq 2+4s\text{，}1\leqq y\leqq 2-3s\}$

がある．長方形$R_s$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$K_s$とする．

(1)　立体$K_s$の体積$V(s)$が最大となるときの$s$の値，およびそのときの$V(s)$の値を求めよ．

(2)　$s$を(1)で求めた値とする．このときの立体$K_s$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体$L$の体積を求めよ．

【２】　$A_0=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．整数$n\geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．

「数字の組$(1,1)\text{，}(1,2)\text{，}(2,1)\text{，}(2,2)$を$1$つずつ書いた$4$枚の札が入っている袋から$1$枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,j)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,j)$成分に$1$を加えた行列を$A_n$とする．」

　この試行を$n$回（$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$）くり返した後に，$A_0\text{，}{A}_1\text{，}\cdots \text{，}{A}_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．

(1)　$p_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

(2)　$(n-1)$回（$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$）の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第$1$行の成分がいずれも正で第$2$行の成分はいずれも$0$である確率$q_{n-1}$を求めよ．

(3)　$p_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$がある．

(1)　$a>0$とする．$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:a$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$a>0\text{，}b>0$とする．$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=1:a:b$を満たす点$\mathrm{P}$が存在するための$a\text{，}b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

【４】　$a\text{，}b$は$a\geqq b>0$を満たす整数とし，$x$と$y$の$2$次方程式

$x^2+ax+b=0\text{，}{y}^2+by+a=0$

がそれぞれ整数解をもつとする．

(1)　$a=b$とするとき，条件を満たす整数$a$をすべて求めよ．

(2)　$a>b$とするとき，条件を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．