2011　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=1-(x-2)|x-2|$について以下の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

問２　$0\leqq t\leqq 3$における$t$の関数$S(t)$を，

$S(t)={\displaystyle {\int }_t^3}f(x)dx$

とおく．このとき$S(t)=2$となる$t$を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$1-t\text{（}0<t<1\text{）}$の$4$つの二等辺三角形${\mathrm{▵A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{▵A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{▵A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{▵A}}_4{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_4$を正方形から切り離す．そして，$4$本の線分${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4\text{，}{\mathrm{B}}_4{\mathrm{B}}_1$で紙を折り，点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$が$1$点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．

問２　この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．

問３　${\left({\displaystyle \frac{V}{S}}\right)}^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が$3$次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を初項$a_1=1\text{，}$公差が$2$の等差数列とし，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=1$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

問２　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

問３　$4$以上の自然数$n$に対して$S_{n+1}<2S_n$が成立することを証明せよ．

【４】　原点から曲線$C\text{：}y=e^{2x}$へひいた接線と$C$との接点を$\mathrm{P}(a,b)$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標$(a,b)$を求めよ．

問２　点$(0,1)$から点$\mathrm{P}$まで曲線$C$に沿って点$\mathrm{Q}$が動く．$C$の点$\mathrm{Q}$における接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線と$l$との交点を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$とする．$0\leqq x\leqq a$の範囲で曲線$C$より下，かつ，直線$l$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき．$0<t<a$における$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【５】　座標空間内で点$\mathrm{Q}(a,b,c)$を中心とする半径$r$の球を$B$とし，$B$は各座標平面と交わる位置にあるとする．$B$が$xy$平面によって切り取られる立体のうち，$\mathrm{Q}$を含む方を$B_1\text{，}$切断面を$D_1$とする．また$B$が$xz$平面によって切り取られる図形のうち，$\mathrm{Q}$を含む方を$B_2\text{，}$切断面を$D_2$とする．$D_1$の面積が$8\pi \text{，}{D}_2$の面積が$12\pi \text{，}{D}_1$と$D_2$が交わってできる線分の長さが$4$のとき，以下の問いに答えよ．

問１　$D_1\text{，}{\mathrm{D}}_2$のそれぞれの中心と半径を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}r$を用いて表せ．

問２　$b\text{，}c\text{，}r$の値を求めよ．

問３　$B_1$と$B_2$の共通部分が$yz$平面によって切り取られた切断面を$D_3$とする．$a$を動かしたときの$D_3$の面積の最大値とそのときの点$\mathrm{Q}$の座標$\mathrm{Q}(a,b,c)$を求めよ．

【６】　$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．単位円上の点$\mathrm{P}$を，動径$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角が$\theta$である点とし，点$\mathrm{Q}$を$x$軸の正の部分の点で，点$\mathrm{P}$からの距離が$2$であるものとする．また，$\theta =0$のときの点$\mathrm{Q}$の位置を$\mathrm{A}$とする．

問１　線分$\mathrm{OQ}$の長さを$\theta$を使って表せ．

問２　線分$\mathrm{QA}$の長さを$L$とするとき，極限値$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{L}{{\theta }^2}}$を求めよ．

【７】　$2$次の正方行列$A\text{．}B$について次の$2$つの条件を考える．（$O$は零行列を表す．）

(a)　$A^3{B}^2-A^2{B}^3=O$

(b)　$A^2\ne O$かつ$B^2\ne O$

問１　(a)を満たす$A$と$B$がともに逆行列をもつとき，$A=B$であることを証明せよ．

問２　(a)，(b)を満たし，$A\ne B$である$A\text{，}B$の例を$1$組あげよ．

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻・教育科学専攻（数学）　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】必答

理科選修，理科専攻，自然科学コース，教育科学専攻（理科）　【１】，【２】，【３】必答

技術専攻・情報科学コース，教育科学専攻（技術）　【１】，【２】必答，【３】，【４】から１題選択