2011　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の整数とする．$2n$個の整数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2n$から無作為に異なる$3$個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．

(2)　$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．

【２】　$f(x)={\displaystyle {\int }_1^x}(t^2-6t+8)dt$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の$0\leqq x\leqq 5$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_x^{x+3}}(t^2-6t+8)dt=0$を満たす$x$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の点$(1,0)$を$\mathrm{A}$とする．原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とし半径が$1$の円周上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は，$\mathrm{\angle AOP}=\theta \text{，}\mathrm{\angle AOQ}=\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$を満たす．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{C}$を四角形$\mathrm{BPQC}$が平行四辺形になるように定める．ただし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　四角形$\mathrm{BPQC}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　$a$を定数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,0,3)\text{，}\mathrm{B}(0,4,-2)\text{，}\mathrm{C}(4,-3,0)\text{，}\mathrm{D}(-7+5a,14-8a,z)$が同じ平面上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$の値を変化させたとき，点$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$および直線$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S_1\text{，}\mathrm{▵APQ}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．