2011　滋賀大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=7\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{AB}=4\sqrt{2}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$から対辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=k\overrightarrow{b}$となる実数$k$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角を求めよ．

【２】　不等式$(2x-y)(x^2+y^2-1)\leqq 0$の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$がこの領域$D$内を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(2,1)$の距離の最小値を求めよ．

(3)　$k$を正の定数とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}(2k,k)$の距離の最小値を$k$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数の定数とする．放物線$C_1\text{：}y=a{x}^2+bx+c$は$3$点$(-1,14)\text{，}(2,-1)\text{，}(6,7)$を通る．この放物線$C_1$と放物線$C_2\text{：}y=x^2+2x+7$の両方に接する直線を$l$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　放物線$C_2$上の点$\mathrm{P}(p,p^2+2p+7)$における接線の方程式を求めよ．

(3)　直線$l$の方程式を求めよ．

(4)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$および直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　座標平面にある$9$個の点$(0,0)\text{，}(0,1)\text{，}(0,2)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)\text{，}(1,2)\text{，}(2,0)\text{，}(2,1)\text{，}(2,2)$から無作為に異なる$n$個の点を選び，これら$n$個の点のうち$3$点を通る直線の総数を$X$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，$X=1$となる確率を求めよ．

(2)　$n=4$のとき，$X=1$となる確率を求めよ．

(3)　$n=5$のとき，$X=2$となる確率を求めよ．