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2011-10550-0101
2011 京都工芸繊維大学 前期
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 xyz 空間に 6 点
A( 1,1, 0) ,B (- 1,1, 0) ,C (- 1,-1, 0) ,D (1 ,-1,0 ), P( α,0,β ), Q( -α,0, β)
が与えられている.ただし, α ,β は正の実数とする.
PB=PC= BC かつ PA =PD=PQ
であるとき,以下の問いに答えよ.
(1) α ,β を求めよ.
(2) 点 P 0( α,0, 0) を考える. P から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を H とし, P から直線 AD に下ろした垂線と直線 AD との交点を K とする.このとき, 2 つの三角形 ▵H P0 P と ▵P P0 K が相似であることを示せ.
2011-10550-0102
【2】 O を原点とする xy 平面上を動く点 P の時刻 t における座標 (x ,y) が
x=( 1+t2 )⁢ cos⁡t ,y=( 1+t2 )⁢sin ⁡t
で与えられている.時刻 t における P の速度を v → とし, 2 つのベクトル OP → ,v→ のなす角を θ とする.ただし, 0≦θ ≦π である.
(1) 時刻 t において,ベクトル a →=( cos⁡t, sin⁡t ), b→= (-sin ⁡t,cos ⁡t) と実数 c , d が v→= c⁢a→ +d⁢ b→ を満たすとき, c ,d を t を用いて表せ.
(2) t>0 のとき, tan⁡θ を t を用いて表せ.
(3) t>0 における θ の最小値を求めよ.
2011-10550-0103
【3】(1) 不定積分 ∫⁡ 1x2 ⁢ log⁡x⁢ dx および ∫⁡ 1x2 ⁢ (log ⁡x) 2⁢d x を求めよ.
(2) 実数 a に対して,曲線 y= 1x ⁢( a+log⁡ x) ( 1≦x≦ e) と x 軸および 2 直線 x =1 ,x =e で囲まれた部分を, x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を V とする. V を a を用いて表せ.また, a が実数全体を動くとき, V を最小とする a の値を求めよ.
2011-10550-0104
【4】 有理数 r について,次の 2 つの条件を考える.
(ⅰ) 1 ,3 ,7 のいずれかの数 p と自然数 m を用いて r= p 2m と表される.
(ⅱ) r<1
条件(ⅰ),(ⅱ)をともに満たすような有理数 r の全体を大きい方から順に並べてできる数列 a1 ,a2 , a3 , ⋯, an , ⋯ を考える.
(1) a1 , a2 , a3 , a4 を求めよ.
(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(3) N を自然数とする.数列 { an } の初項から第 3 ⁢N 項までの和 T N を N を用いて表せ.さらに,極限 limN→ ∞⁡ TN を求めよ.