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2011-10565-0201
2011 大阪教育大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { a } を
a1 =1 ,a 2=2 , an +2= an+ 12 +( -1) na n ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
と定め, {a n} の階差数列を { bn } とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) b1 , b2 , b3 , b4 , b5 を求めよ.
(2) すべての自然数 n に対して,ベクトル ( an, bn ) の成分が共に正の整数であることを示せ.
2011-10565-0202
【2】 m ,n , k は正の整数とする.行列
A=( m -1 1m ), B=( 1 -n n1 ), C=( 5 -1 15 )
に対して,等式
2⁢k ⁢A⁢B =C4
が成り立つとする.このとき,次の問に答えよ.
(1) C4 を求めよ.
(2) m-n と m ⁢n をそれぞれ k を用いて表せ.
(3) m ,n , k の値を求めよ.
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【3】 曲線 y =1- x22 ( x>0 ) を C とする.曲線 C 上の点 P における接線と直交し,点 P を通る直線を l とする.直線 l 上の点 Q ( x,y ) を
{ y>1 - x22 PQ =1
となるようにとり,直線 l と x 軸のなす角 θ を, 0<θ <π 2 を満たすようにとる.このとき,次の問に答えよ.
(1) 点 Q の座標を θ を用いて表せ.
(2) 点 Q が x 軸上にあるとき, θ の値を求めよ.
(3) 点 P が C 上を動くときの点 Q の軌跡と, x 軸, y 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
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【4】 n を自然数とする. f⁡( x)= ex+ e-x 2 とし, k=0 , 1 ,2 , ⋯ ,n に対して,曲線 y =f⁡( x) 上に点 P k( kn , f⁡( kn ) ) をとる.線分 Pk P k+1 の長さを l k ( 0≦k≦ n-1 ) とおき, Ln= ∑ k=0 n-1 lk とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 平均値の定理を用いて,
lk= 1n ⁢ f⁡( ck ), n k<c k< k+1n
を満たす実数 c n が存在することを示せ.
(2) 1 n⁢ f⁡ ( kn )< lk< 1n ⁢ f⁡( k +1n ) を示せ.
(3) limn →∞ Ln を求めよ.