2011　奈良女子大学　前期

2011-10631-0101

2011　奈良女子大学　前期

理学部

易□　並□　難□

【１】　三角形 $ABC$ において， $\vec{BC} = \vec{a} ， \vec{CA} = \vec{b} ， \vec{AB} = \vec{c}$ とおく． $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ は， $\vec{b} \cdot \vec{c} = - 4 ， \vec{c} \cdot \vec{a} = - 3 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 5$ をみたしている．以下の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．

(2)　三角形 $ABC$ の辺 $BC ， CA$ の長さを求めよ．

(3)　三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求めよ．

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理学部

易□　並□　難□

【２】　さいころを $n$ 回投げたとき $1$ の目が出る回数が奇数である確率を $p_{n}$ とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ を求めよ．

(2)　 $p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6}$ が成り立つことを示せ．

(3)　 $p_{n}$ を求めよ．

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理学部

易□　並□　難□

【３】(1)　関数 $y = x \log x (\frac{1}{3} ≦ x ≦ 1)$ の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし対数は自然対数とする．また自然対数の底 $e$ は， $2 < e < 3$ をみたす．

(2)　定積分 $\int_{\frac{1}{3}}^{1} x \log x d x$ を求めよ．

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生活環境学部

易□　並□　難□

【４】　円に内接する四角形 $ABCD$ において $AB = 1 ， BC = 2 ， CD = 3 ， DA = 4$ であるとする． $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $BD$ の長さを求めよ．

(2)　 $BE : ED$ を求めよ．

(3)　 $\vec{BC} \cdot \vec{BE}$ を求めよ．

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生活環境学部

易□　並□　難□

【５】　 $a ， b$ は実数で $a < b$ をみたすものとする． $f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + b) x^{2} + 6 a b x$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ の極大値と極小値を求めよ．

(2)　 $x$ についての $3$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる $3$ つの実数解をもつとき $a ， b$ のとり得る値の範囲を求め， $a b$ 平面上に図示せよ．

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生活環境学部

易□　並□　難□

【６】　直線 $l ： y = x$ を動く点 $P$ と， $P$ で $l$ と接する円 $C_{1}$ を考える． $P$ の座標を $(t, t) ， C_{1}$ の中心の座標を $(a, b)$ とする．ただし $t > 0 ， a > b$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　以下の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　 $a + b$ を $t$ を用いて表せ．

(ⅱ)　 $C_{1}$ の半径を $a ， b$ を用いて表せ．

(2)　中心が $(1, - 1)$ の円 $C_{2}$ も $l$ と接しているとする． $C_{1}$ が，さらに $C_{2}$ に接しているとする．以下の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　 ${(a + b)}^{2} = 8 (a - b)$ を示せ．

(ⅱ)　 $b$ の最大値を求めよ．

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