2011　奈良女子大学　後期

(1)　$A^2-2A$が単位行列の$k$倍になるとする．このとき，$k\geqq 0$となることを示せ．

(2)　$A^2-2A$が単位行列であり，かつ$a\geqq b$であるような$a\text{，}b$を求めよ．また，このときの$A^4\text{，}{A}^8$を求めよ．

(1)　$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を${\mathrm{PP}}^{\prime }$とするとき，三角形${\mathrm{OPP}}^{\prime }$の面積を$t$で表せ．

(2)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$と線分$\mathrm{OP}$および線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた図形の面積$S$を$t$で表せ．

(3)　$t$が$t>1$の範囲を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値を求めよ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$2$次方程式$g(x)=0$を解け．

(3)　連立不等式$\{\begin{array}{l}f(x)<0\\ g(x)>0\end{array}$の解は$0<x<2$であるとする．このとき$a\text{，}b$の値を求めよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}s\text{，}t$を有理数とする．このとき，

$p+q\sqrt{3}=s+t\sqrt{3}$ならば$p=s\text{，}q=t$

が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt{3}}}=p+q\sqrt{3}$が成り立つとする．ただし$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$は有理数とする．このとき$p\text{，}q$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{a+\sqrt{3}}}=p+q\sqrt{3}$が成り立つとする．ただし$a\text{，}p\text{，}q$は整数とする．このとき$a$の値をすべて求めよ．

(4)　$b$を$0$でない整数とする．${\displaystyle \frac{1}{1+b\sqrt{3}}}$は整数$p\text{，}q$を用いて$p+q\sqrt{3}$とは表されないことを示せ．