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2011-10661-0101
2011 鳥取大学 前期
地域,工,医(医学科),農学部
易□ 並□ 難□
【1】 x>1 である実数 x に対して x +1 x=a とおくとき,次の式を a を用いて表せ.
(1) x2 +1 x2
(2) x- 1x
(3) x3 -1 x3
2011-10661-0102
地域,工,農学部
【2】 xy 平面上の円 C 1: x2+ y2+ a⁢x+ b⁢y+ 28=0 は,点 A ( 2,8 ) と点 B ( 7,7 ) を通る.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 円 C 1 の中心の座標と半径を求めよ.
(2) 円 C 1 上の点 A ,B における接線をそれぞれ l , m とするとき, 2 直線 l , m の交点の座標を求めよ.
(3) x の 2 次関数のグラフ C 2 は(2)で求めた交点を頂点とし,点 A を通る.このとき C 2 と x 軸との交点の座標を求めよ.
2011-10661-0103
地域学部
【3】 次の問いに答えよ.
(1) x ,y が, 2x =8y +1 , 9y =3 x-9 を満たすとき, x+y の値を求めよ.
2011-10661-0104
(2) x についての 2 次方程式 x 2-p ⁢x+ p2- 14 =0 の 2 つの解を x1 ,x2 とするとき, |x 1-x 2| の値を求めよ.
2011-10661-0105
(3) x が,方程式 x+9 3- x-9 3=3 を満たすとき, x2 の値を求めよ.
2011-10661-0106
地域,医(医学科)学部
医(医学科)学部は【2】
【4】 右図において,北隅の A の文字から南隅の A の文字まで,南東または南西に文字をたどって最短で進むとき,経路上の文字を読むと ABRACADABRA となる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 右図で北隅の A から南隅の A まで最短の進み方(以後,「 ABRACADABRA の読み方」という)は全部で何通りあるか.
(2) 右図の T 地点を通る ABRACADABRA の読み方は何通りあるか.
(3) 右図の T 地点と U 地点の両方を通る ABRACADABRA の読み方は何通りあるか.
(4) 右図の T 地点と U 地点のどちらも通らない ABRACADABRA の読み方は何通りあるか.
2011-10661-0107
工,医(医学科),農学部
【3】 曲線 C :y=log ⁡x ( x>0 ) について,次の問いに答えよ.ただし, log⁡x は x の自然対数である.
(1) 不定積分 ∫log⁡ x⁢dx を求めよ.
(2) 原点から曲線 C に引いた接線 l の方程式および接点の座標を求めよ.
(3) 曲線 C と(2)で求めた接線 l および x 軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(4) 曲線 C と(2)で求めた接線 l および x 軸とで囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.
2011-10661-0108
工,農学部
【4】 半径 a⁢ cm の球 B を,球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒 v⁢ cm の速さで下の方向に動かし,水で一杯に満たされた容器 Q に沈めていく.球 B を沈め始めてから t 秒後までにあふれ出る水の体積を V ⁢cm 3 とするとき,次の問いに答えよ.ただし, a ,v は正の定数で,容器 Q に球 B を完全に水没させることができるとする.
(1) V を a , v ,t の式で表せ.また変化率 dVd t が最大になるのは,沈め始めてから何秒後か.
(2) 容器 Q は一辺の長さが b の正四面体から一面を取り除いた形をしており,開口した面は水平に保たれている.球 B は完全に水面下に入った瞬間,水面と容器 Q の 3 つの面に接するという. b を a で表せ.
2011-10661-0109
医(医学科)学部
【4】 x の関数 f ⁡(x ) と F ⁡(x ) を
f⁡( x)= 1 x2+ 1 , F⁡( x)= ∫ 0x f⁡( t)⁢ dt
により定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡( x) の増減,凹凸を調べ, y=f⁡ (x ) のグラフの概形を描け.
(2) F⁡( 1 3) の値を求めよ.
(3) 実数 x , y が |x |<1 , |y |<1 を満たすとき
F⁡( x +y1 -x⁢y ) =F⁡( x)+ F⁡( y)
が成り立つことを示せ.
(4) F⁡( 2-3 ) の値を求めよ.